Convergenza di una serie di funzioni
Salve ragazzi, avrei bisogno di un aiuto con questa serie:
$ sum_(n=1)^oo (-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $
Devo individuare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme...
Per la convergenza puntuale ho pensato di utilizzare il criterio del rapporto:
$ lim_(n->+oo) ((-1)(-1)^n(2(2^n)+(n+1)^3)/((4x)(4x)^n)e^x)/((-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x)=lim_(n->+oo) ((-1)2^n(2+(n+1)^3/2^n))/((4x)(2^n)(1+n^3/2^n))=-1/(2x) $
La condizione perchè la serie converga è che il valore del limite sia minore di uno, per cui:
$ -1/(2x)<1 => -1<2x => x>(-1/2) $
Quindi l'intervallo di convergenza puntuale è $ (-1/2,+oo)\\{0} $
La convergenza uniforme mi manda in tilt...
Ho provato ad utilizzare l'M test di Weierstrass, cercando un valore M sempre maggiore del modulo dell'argomento della serie... Ma facendo la derivata dell'argomento e ponendolo uguale a zero mi viene x=n la cui serie non converge... Come potrei procedere?
$ sum_(n=1)^oo (-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $
Devo individuare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme...
Per la convergenza puntuale ho pensato di utilizzare il criterio del rapporto:
$ lim_(n->+oo) ((-1)(-1)^n(2(2^n)+(n+1)^3)/((4x)(4x)^n)e^x)/((-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x)=lim_(n->+oo) ((-1)2^n(2+(n+1)^3/2^n))/((4x)(2^n)(1+n^3/2^n))=-1/(2x) $
La condizione perchè la serie converga è che il valore del limite sia minore di uno, per cui:
$ -1/(2x)<1 => -1<2x => x>(-1/2) $
Quindi l'intervallo di convergenza puntuale è $ (-1/2,+oo)\\{0} $
La convergenza uniforme mi manda in tilt...
Ho provato ad utilizzare l'M test di Weierstrass, cercando un valore M sempre maggiore del modulo dell'argomento della serie... Ma facendo la derivata dell'argomento e ponendolo uguale a zero mi viene x=n la cui serie non converge... Come potrei procedere?
Risposte
Attento, il criterio del rapporto vale solamente per serie numeriche a termini positivi e ciò non accade con questa serie, chiaramente 
Io direi di partire con la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, ovvero $(2^n+n^3)/((4x)^n) ->0$. Dato che $(2^n+n^3)/((4x)^n) ~ 2^n/(4x)^n = (1/(2x))^n$, devi chiedere $1/(2x) < 1, => x > 1/2$
Ora, con questa condizione sono soddisfatte le ipotesi per il criterio di Leibnitz, quindi la condizione necessaria è anche sufficiente e si ha convergenza puntuale su $(1/2, +oo)$
Per calcolarne la somma direi di passare alla sua cugina con il modulo ed usare il criterio asintotico. Più correttamente, studi $ sum_(n=1)^oo |(-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x | = sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $ dato che $x>1/2$ (e quindi tutti i termini eccetto il segno oscillante sono positivi), poi osservi che $(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x ~ (1/(2x))^n e^x $ e quindi, in conclusione, hai $ sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x text( ~ ) e^x sum_(n=1)^oo (1/(2x))^n$ che è la serie geometrica di ragione $1/(2x) <1$ (coincidenze?!?) e dunque vale $1/(1-(1/(2x))) = (2x)/(2x-1)$. Infine non dimentichiamoci del povero $e^x$ fuori alla porta
Se dunque non ho detto una marea di michiate (sempre possibile eh, specie oggi che sto male) la convergenza puntuale avviene a $f(x) := (2x)/(2x-1) e^x$ nell'intervallo $I := (1/2,+infty)$, che oltretutto rientra nel dominio di f. Rassicurante, magari non ho cannato
Lascio a te fare considerazioni sulla convergenza uniforme, almeno finchè non starò meglio e potrò riguardarle. Ti ricordo che la serie converge uniformemente ad f sse $||f_n - f||_(infty, I) := text(sup)_(x in I){f_n(x) - f(x)} ->0 text( per ) n->+infty$
Io direi di partire con la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, ovvero $(2^n+n^3)/((4x)^n) ->0$. Dato che $(2^n+n^3)/((4x)^n) ~ 2^n/(4x)^n = (1/(2x))^n$, devi chiedere $1/(2x) < 1, => x > 1/2$
Ora, con questa condizione sono soddisfatte le ipotesi per il criterio di Leibnitz, quindi la condizione necessaria è anche sufficiente e si ha convergenza puntuale su $(1/2, +oo)$
Per calcolarne la somma direi di passare alla sua cugina con il modulo ed usare il criterio asintotico. Più correttamente, studi $ sum_(n=1)^oo |(-1)^n(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x | = sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x $ dato che $x>1/2$ (e quindi tutti i termini eccetto il segno oscillante sono positivi), poi osservi che $(2^n+n^3)/((4x)^n)e^x ~ (1/(2x))^n e^x $ e quindi, in conclusione, hai $ sum_(n=1)^oo (2^n+n^3)/((4x)^n)e^x text( ~ ) e^x sum_(n=1)^oo (1/(2x))^n$ che è la serie geometrica di ragione $1/(2x) <1$ (coincidenze?!?) e dunque vale $1/(1-(1/(2x))) = (2x)/(2x-1)$. Infine non dimentichiamoci del povero $e^x$ fuori alla porta
Se dunque non ho detto una marea di michiate (sempre possibile eh, specie oggi che sto male) la convergenza puntuale avviene a $f(x) := (2x)/(2x-1) e^x$ nell'intervallo $I := (1/2,+infty)$, che oltretutto rientra nel dominio di f. Rassicurante, magari non ho cannato
Lascio a te fare considerazioni sulla convergenza uniforme, almeno finchè non starò meglio e potrò riguardarle. Ti ricordo che la serie converge uniformemente ad f sse $||f_n - f||_(infty, I) := text(sup)_(x in I){f_n(x) - f(x)} ->0 text( per ) n->+infty$
Per la convergenza uniforme posso sfruttare Leibniz e dire che $ sup {|s(x)-s_n(x)|}<= sup {|a_(n+1)|} $ ?
Possibile che ci sia Convergenza uniforme in $ [1,+oo) $ ?
Possibile che ci sia Convergenza uniforme in $ [1,+oo) $ ?
Non so perché ma avevo digitato sup ed è uscito il simbolo di inclusione
Se tirassi fuori e^x ponessi 1/4x=t e la trattassi come serie di potenze?
ti posto il mio ragionamento ad occhio:
allora per la convergenza puntuale, ho ragionato con \(\displaystyle x=0 \) (che, dalla traccia, puoi subito vedere che viene meno) e \(\displaystyle |x| \) diverso da zero.
Allora, per \(\displaystyle x=0 \), come puoi ben capire, non v'è nulla, quindi puoi benissimo dire che lì non converge.
Per |x| diverso da zero, puoi agire in questo modo: o analizzi le serie oscillanti in \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x<0 \) giungendo alla conclusione che convergono puntualmente in \(\displaystyle (-\infty, - \frac{1}{2}) U (\frac {1}{2}, \infty) \), oppure passi alla convergenza assoluta riducendo la serie di partenza ad una serie di potenze, di cui calcoli il raggio di convergenza e trovi il cerchio di convergenza relativo (in \(\displaystyle x \) = più o meno \(\displaystyle \frac {1}{2} \)non converge, come puoi verificare);
Detto questo, quindi, puoi passare a trovare la convergenza uniforme con i metodi che conosci, se anche qui hai difficoltà, non esitare a chiedere (puoi sfruttare il ragionamento fatto con la convergenza assoluta, tentando di trovare quella totale da cui poi puoi discernere quella uniforme, o in altri modi!)
allora per la convergenza puntuale, ho ragionato con \(\displaystyle x=0 \) (che, dalla traccia, puoi subito vedere che viene meno) e \(\displaystyle |x| \) diverso da zero.
Allora, per \(\displaystyle x=0 \), come puoi ben capire, non v'è nulla, quindi puoi benissimo dire che lì non converge.
Per |x| diverso da zero, puoi agire in questo modo: o analizzi le serie oscillanti in \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x<0 \) giungendo alla conclusione che convergono puntualmente in \(\displaystyle (-\infty, - \frac{1}{2}) U (\frac {1}{2}, \infty) \), oppure passi alla convergenza assoluta riducendo la serie di partenza ad una serie di potenze, di cui calcoli il raggio di convergenza e trovi il cerchio di convergenza relativo (in \(\displaystyle x \) = più o meno \(\displaystyle \frac {1}{2} \)non converge, come puoi verificare);
Detto questo, quindi, puoi passare a trovare la convergenza uniforme con i metodi che conosci, se anche qui hai difficoltà, non esitare a chiedere
(puoi sfruttare il ragionamento fatto con la convergenza assoluta, tentando di trovare quella totale da cui poi puoi discernere quella uniforme, o in altri modi!)
Penso di poter svolgere l'esercizio in questo modo:
$ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(4x)^n $
Naturalmente devo imporre che $ x!=0 $ ;
Dopoiché pongo $ 1/(4x)=t $ e la serie diventa $ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)(t)^n $;
Uso D'Alembert:
$ lim_(n->+oo) |((-1)^n(-1)(2^n2+(n+1)^3))/((-1)^n(2^n+n^3))|=R^-1 $
Da qui deduco che $ R^-1=2 => R=1/2 $
$ -1/2<1/(4x)<1/2 $
e quindi $ x>1/2,x<-1/2 $
Già posso dire che la serie converge uniformemente in ogni insieme compatto incluso in $ (-oo,-1/2) $ e in ogni insieme compatto incluso in $ (1/2, +oo) $
Devo controllare gli estremi:
per $ x=1/2 $ la serie diventa $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(2)^n$
il limite del termine generale non esiste, per cui la serie e' indeterminata;
per $ x=-1/2 $ la serie diventa $ sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^n(2^n+n^3)/((-1)^n2^n))(1/sqrte) $
in questo caso li limite del termine generale fa $ 1/sqrte $, la serie non converge;
Quindi ottengo convergenza uniforme in ogni intervallo [a,b] contenuto in (-oo,-1/2), e in ogni intervallo [c,d] contenuto in (1/2,+oo)
E' corretto così?
$ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(4x)^n $
Naturalmente devo imporre che $ x!=0 $ ;
Dopoiché pongo $ 1/(4x)=t $ e la serie diventa $ e^xsum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)(t)^n $;
Uso D'Alembert:
$ lim_(n->+oo) |((-1)^n(-1)(2^n2+(n+1)^3))/((-1)^n(2^n+n^3))|=R^-1 $
Da qui deduco che $ R^-1=2 => R=1/2 $
$ -1/2<1/(4x)<1/2 $
e quindi $ x>1/2,x<-1/2 $
Già posso dire che la serie converge uniformemente in ogni insieme compatto incluso in $ (-oo,-1/2) $ e in ogni insieme compatto incluso in $ (1/2, +oo) $
Devo controllare gli estremi:
per $ x=1/2 $ la serie diventa $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(2^n+n^3)/(2)^n$
il limite del termine generale non esiste, per cui la serie e' indeterminata;
per $ x=-1/2 $ la serie diventa $ sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^n(2^n+n^3)/((-1)^n2^n))(1/sqrte) $
in questo caso li limite del termine generale fa $ 1/sqrte $, la serie non converge;
Quindi ottengo convergenza uniforme in ogni intervallo [a,b] contenuto in (-oo,-1/2), e in ogni intervallo [c,d] contenuto in (1/2,+oo)
E' corretto così?
mi hai fatto anche notare che la serie può essere scritta anche nella seguente forma \(\displaystyle e^{x} \sum (2^{n} +n^{3})( \frac{-1}{4x})^{n} \), ha più senso definire questa come serie di potenze, comunque sì, a me sembra corretto; attendo gli altri, vediamo cosa dicono, purtroppo non sono un luminare
ah, inoltre hai fatto ragionamenti moooolto lunghi per trovare il raggio di convergenza, col criterio della radice, sempre ad occhio, riesci a dire che quel \(\displaystyle 2^{n} \) ti permette di arrivare a \(\displaystyle \frac {1}{2} \).
e ricorda che quando passi al modulo, quel \(\displaystyle (-1)^{n} \) viene meno, altrimenti te lo porti sempre appresso e fidati che in condizioni di stress, come ad un esame, può capitare di confondere un po' tutto
e ricorda che quando passi al modulo, quel \(\displaystyle (-1)^{n} \) viene meno, altrimenti te lo porti sempre appresso e fidati che in condizioni di stress, come ad un esame, può capitare di confondere un po' tutto
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