Convergenza di una serie, con termine da determinare.
Buonasera,
il seguente esericizio richiede di determinare per quali valori $x ge 0 $, risulti convergenti la seguente serie
procedo nel seguente modo:
considero il termine generale della serie data, cioè $a_k=(x^k)/(k^2)$, il quale risulta positivo $forall k ge 1$, pertanto la seria assegnata è a termini positivi.
Quindi vista la forma del termine generale, applico il criterio della radice:
$l=lim_(k to + infty) ((x^k)/(k^2))^(1/k)=x*lim_( k to + infty)1/((k^)^(2/k))=x*lim_( k to + infty)1/(e^(2ln(k)/k))=x*1/(e^0)=x*1=x$
Per il criterio della radice la serie data converge se $l<1 to l=x<1$.
Quindi la serie converge per ogni $x in mathbb{R}: 0 le x <1$.
Il risultato del libro è $x le 1$, perche sussiste l'uguaglianza ?
Cordiali saluti.
il seguente esericizio richiede di determinare per quali valori $x ge 0 $, risulti convergenti la seguente serie
$sum_(k=1)^(infty) (x^k)/(k^2)$
procedo nel seguente modo:
considero il termine generale della serie data, cioè $a_k=(x^k)/(k^2)$, il quale risulta positivo $forall k ge 1$, pertanto la seria assegnata è a termini positivi.
Quindi vista la forma del termine generale, applico il criterio della radice:
$l=lim_(k to + infty) ((x^k)/(k^2))^(1/k)=x*lim_( k to + infty)1/((k^)^(2/k))=x*lim_( k to + infty)1/(e^(2ln(k)/k))=x*1/(e^0)=x*1=x$
Per il criterio della radice la serie data converge se $l<1 to l=x<1$.
Quindi la serie converge per ogni $x in mathbb{R}: 0 le x <1$.
Il risultato del libro è $x le 1$, perche sussiste l'uguaglianza ?
Cordiali saluti.
Risposte
Perché se $x=1$ hai
$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$$
Che è notoriamente una serie armonica convergente.
$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$$
Che è notoriamente una serie armonica convergente.
Uuuuu ! si !
Grazie !
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