Convergenza di una serie con parametro
Buongiorno a tutti,
Sto riscontrando problemi nell'analizzare una serie per capire se essa converge o diverge. Non ho grosse difficoltà quando devo applicare criterio del rapporto o della radice per serie con potenze, fattoriali e prodotti, mentre in questa non riesco a capire come fare.
$\sum_{n=1}^\infty n*(e^(1/(n^\alpha))-1-1/(n^\alpha))$
Al variare di $\alpha > 0$
Applicando il criterio del rapporto non ne vengo fuori, quindi penso a questo punto bisogna fare altre cose tipo stime asintotiche et simila. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
Sto riscontrando problemi nell'analizzare una serie per capire se essa converge o diverge. Non ho grosse difficoltà quando devo applicare criterio del rapporto o della radice per serie con potenze, fattoriali e prodotti, mentre in questa non riesco a capire come fare.
$\sum_{n=1}^\infty n*(e^(1/(n^\alpha))-1-1/(n^\alpha))$
Al variare di $\alpha > 0$
Applicando il criterio del rapporto non ne vengo fuori, quindi penso a questo punto bisogna fare altre cose tipo stime asintotiche et simila. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
Risposte
Essendo $1/n^alpha$ infinitesima, puoi usare lo sviluppo di $e^x$ in un intorno di $0$:
$e^(1/n^alpha)=1+1/n^alpha+1/(2n^(2alpha))+o(1/n^(2alpha))$, e in particolare $e^(1/n^alpha)-1-1/n^alpha$ è asintoticamente equivalente a $1/(2n^(2alpha))$, quindi la serie ha lo stesso comportamento di $sum_(n=1)^(+oo) n^(1-2alpha)$
$e^(1/n^alpha)=1+1/n^alpha+1/(2n^(2alpha))+o(1/n^(2alpha))$, e in particolare $e^(1/n^alpha)-1-1/n^alpha$ è asintoticamente equivalente a $1/(2n^(2alpha))$, quindi la serie ha lo stesso comportamento di $sum_(n=1)^(+oo) n^(1-2alpha)$
Quindi mi riconduco alla serie armonica
$\sum_{n=1}^\infty 1/(n^(2\alpha - 1))$
che ovviamente converge per $2\alpha - 1 > 1$ dunque converge per $\alpha > 1$
Giusto?
$\sum_{n=1}^\infty 1/(n^(2\alpha - 1))$
che ovviamente converge per $2\alpha - 1 > 1$ dunque converge per $\alpha > 1$
Giusto?
Ciao spugna
io non ho capito. Io avrei scritto
$ sum_(n=1)^(+oo) 1/(2n^(2\alpha)) = 1/2 sum_(n=1)^(+oo) 1/n^(2\alpha) $ (e quindi al più $sum_(n=1)^(+oo) n^(-2alpha)$)
"spugna":
quindi la serie ha lo stesso comportamento di $ sum_(n=1)^(+oo) n^(1-2alpha) $
io non ho capito. Io avrei scritto
$ sum_(n=1)^(+oo) 1/(2n^(2\alpha)) = 1/2 sum_(n=1)^(+oo) 1/n^(2\alpha) $ (e quindi al più $sum_(n=1)^(+oo) n^(-2alpha)$)
Ciao Ziben,
Beh, nella serie iniziale c'è una $n$ che moltiplica il corretto sviluppo di spugna, quindi la serie proposta ha lo stesso comportamento della serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2n^(2\alpha - 1)) = frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^(2\alpha - 1)) $
che converge per $2\alpha - 1 > 1 \implies \alpha > 1 $ (giusto blak24).
Beh, nella serie iniziale c'è una $n$ che moltiplica il corretto sviluppo di spugna, quindi la serie proposta ha lo stesso comportamento della serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2n^(2\alpha - 1)) = frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^(2\alpha - 1)) $
che converge per $2\alpha - 1 > 1 \implies \alpha > 1 $ (giusto blak24).
Ahh...grazie, non me ne ero accorto 
Fortunatamente solo una svista
Fortunatamente solo una svista
No problem, capitano a tutti, sottoscritto incluso... 
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