Convergenza di una serie con ln
La serie in questione è questa \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (ln\tfrac{n+3\alpha }{n}) \),
quindi studiare la convergenza e convergenza assoluta al variare di \(\displaystyle \alpha>0 \)
Ora usando il criterio di Leibniz (dato che rispetta tutte le ipotesi, segni alterni, sempre positiva, il lim tende a 0, ed è decrescente) quindi la serie è convergente semplicemente.
Ma visto che mi chiede anche la convergenza assoluta ho pensato di fare con il criterio del confronto asintotico, ovvero:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(ln\tfrac{n+3\alpha }{n}) \sim \tfrac{3\alpha}{n} \) ,
ma questa non è nient'altro che la serie armonica, e che quindi diverge, avendo lo stesso carattere entrambe le serie quindi anche la prima diverge.
Il mio ragionamento è giusto?
quindi studiare la convergenza e convergenza assoluta al variare di \(\displaystyle \alpha>0 \)
Ora usando il criterio di Leibniz (dato che rispetta tutte le ipotesi, segni alterni, sempre positiva, il lim tende a 0, ed è decrescente) quindi la serie è convergente semplicemente.
Ma visto che mi chiede anche la convergenza assoluta ho pensato di fare con il criterio del confronto asintotico, ovvero:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(ln\tfrac{n+3\alpha }{n}) \sim \tfrac{3\alpha}{n} \) ,
ma questa non è nient'altro che la serie armonica, e che quindi diverge, avendo lo stesso carattere entrambe le serie quindi anche la prima diverge.
Il mio ragionamento è giusto?
Risposte
sì
Ok, grazie per avermi tolto il dubbio.
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