Convergenza di una serie con criterio integrale

[gcappellotto]

Salve a tutti
devo valutare la convergenza della seguente serie con il criterio dell'integrale.

$\sum_{n=1}^{+\infty}n\cdot \sin^4(1/n)$
funzione associata:
$f(x)=x \cdot \sin^4(1/x)$ positiva e continua nell'intervallo $[1,+\infty[$

$f'(x)=\sin^4(1/x)-4sin^3(1/x) \cos (1/x) \cdot 1/x$

nell'intervallo considerato la $f'(x) < 0 $ quindi posso applicare il criterio dell'integrale.

$\int_1^{+\infty} x\cdot \sin^4(1/x)dx= \lim_{c \to +\infty} \int_1^c x\cdot \sin^4(1/x)dx$

il mio problema è che non riesco a calcolare l'integrale.
Grazie per le indicazioni.
Giovanni C.

[salvozungri]

Non devi necessariamente calcolare il valore dell'integrale, è sufficiente verificarne la convergenza, in tal caso vengono in aiuto i vari criteri di covergenza per gli integrali, ad esempio il criterio del confronto asintotico.

[girdav]

Salve,
per $x\ge 1$ abbiamo $\sin \(\frac 1{x^4}\)\le \frac 1{x^4}$ dunque $0\le x\sin \(\frac 1{x^4}\)\le \frac 1{x^3}$. Non c'è bisogno di calcolare l'integrale, basta mostrare che converge.

[Giuly191]

Scusate l'ignoranza ma qual'è l'utilità di questo criterio? Al massimo mi torna utile ricondurre qualche integrale improprio ad un serie, ma prendere una successione e farla diventare una funzione non mi sembra una grande trovata per semplificare i calcoli! Insomma si vede a occhio che quella serie converge!

[salvozungri]

Nemmeno io avrei risolto l'esercizio con il criterio integrale, ne avrei utilizzato un altro. In tutti i casi, bisogna giustificare matematicamente ciò che si fa, purtroppo "Insomma si vede a occhio che quella serie converge!" non è una risoluzione accettabile .

[Giuly191]

Sì sì ok, ma per si vede a occhio intendevo grazie al criterio del confronto asintotico .
Il mio era semplicemente un parere su questo fantomatico criterio integrale, di cui non vedo alcuna utilità nella risoluzione di alcun esercizio!

[^Tipper^1]

$Lim_(x->+infty)x^k*x*sin^4(1/x)$

$Lim_(x->+infty)x^(k+1)(1/x+o(1/x))^4$

$Lim_(x->+infty)x^(k+1)*1/x^4(1+(o(1/x^4))/(1/x^4))$

$Lim_(x->+infty)x^(k-3)(1+(o(1/x^4))/(1/x^4))$

Convergente.

[girdav]

Giuly19 : un'utilità del criterio integrale è di mostrare che la serie $\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^a}$ converge se e solo se $a>1$. Permette anche di studiare più facilmente le serie della forma $\sum_{n\geq 2}\frac 1{n^a(\log n)^b}$.

[dissonance]

"Giuly19":Sì sì ok, ma per si vede a occhio intendevo grazie al criterio del confronto asintotico .
Il mio era semplicemente un parere su questo fantomatico criterio integrale, di cui non vedo alcuna utilità nella risoluzione di alcun esercizio!

E' vero, è strano. Uno pensa: una serie è un oggetto più semplice di un integrale. Quindi non ci può essere vantaggio, per studiare una serie, nel passare ad un integrale.

Sembra ovvio e invece è falso. Per certi versi gli integrali sono oggetti più semplici da studiare, rispetto alle serie. Qualche motivo? Non esiste un teorema fondamentale del calcolo integrale, per le serie: per quanto esprimere un integrale in forma chiusa possa essere difficile, fare lo stesso con una serie è ancora più difficile. Lo stesso discorso per la formula di integrazione per parti e per la formula del cambiamento di variabile. Poi un integrale può essere sempre spezzettato in tanti pezzi più piccoli, mentre una serie è "granulare" in natura...

Insomma, certe volte le cose non sono come sembrano. Uno "non vede alcuna utilità" in qualcosa solo perché non ci ha riflettuto abbastanza.