Convergenza di una serie al variare di un parametro
Ciao a tutti, devo studiare la convergenza della seguente serie al variare di $ alpha $
$ sum_(n=1)^(infty) 1/n^2tan(pi/2-1/n^alpha) $
Io pensavo di dire che $ tan(pi/2-1/n^alpha) $ (cioè $ ctg1/n^alpha $) è asintoticamente equivalente a $ 1/n^alpha $
Dunque, considerando $ 1/n^2 1/n^alpha $, la serie converge per $ alpha > -1 $
E' corretto fare così?
$ sum_(n=1)^(infty) 1/n^2tan(pi/2-1/n^alpha) $
Io pensavo di dire che $ tan(pi/2-1/n^alpha) $ (cioè $ ctg1/n^alpha $) è asintoticamente equivalente a $ 1/n^alpha $
Dunque, considerando $ 1/n^2 1/n^alpha $, la serie converge per $ alpha > -1 $
E' corretto fare così?
Risposte
Ciao floyd123,
No. La serie proposta si comporta come la serie seguente:
$sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2/n^{\alpha}) = sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{2 - \alpha}) $
Dunque converge per $2 - \alpha > 1 \implies \alpha < 1 $
"floyd123":
E' corretto fare così?
No. La serie proposta si comporta come la serie seguente:
$sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2/n^{\alpha}) = sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{2 - \alpha}) $
Dunque converge per $2 - \alpha > 1 \implies \alpha < 1 $
D'accordo, ma perché il secondo "pezzo" non viene considerato?
"floyd123":
D'accordo, ma perché il secondo "pezzo" non viene considerato?
Perdonami, ma non ti seguo... Quale secondo "pezzo"?
Come giustamente hai scritto si ha:
$tan(pi/2-1/n^alpha) = cot(1/n^alpha) = frac{1}{tan(1/n^alpha)} $[tex]\sim[/tex] $ frac{1}{1/n^alpha} \implies 1/n^2 tan(pi/2-1/n^alpha) $ [tex]\sim[/tex] $ frac{1}{n^2/n^alpha} = frac{1}{n^{2 - alpha} $
Ah ho capito, grazie mille!
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