Convergenza di una serie al variare di un parametro
Ciao a tutti, nell'ultimo compito scritto di Analisi c'era questo esercizio: studiare al variare di $b in R$ la convergenza della serie $sum_(k=1)^oo(arccos((k-1)/k)-arccos(k/(k+1)))^b$ . Non so proprio cosa fare, l'unica cosa che ho pensato è che $0<=arccos(x)<=pi$. Vi chiedo un grande aiuto, grazie.
Risposte
zero idee?
"matteoorlandini":
zero idee?
Provo a risponderti io visto che non risponde nessuno, ci ho provato ma non so se è giusto quello che sto facendo.
Credo che quando x tende a 0
$ Arccos(x)=pi /2-x+o(x) $
ma non ne sono sicuro...se così fosse si può riscrivere
$ (pi/2-(k-1/k)-pi/2-(k/k+1))^b=((k+1)/k-k/(k+1))^b= $
$ =((k^2+k+k+1-k^2)/(k^2+k))^b=((2k+1)/(k^2+k))^b=(2/k)^b $
Che converge per b>1, ma non son sicuro si faccia così
Solo che arccos per $k->oo$ è centrato in 1 quindi non si può usare lo sviluppo di McLaurin, ma di Taylor centrato in 1
Ciao,
ci avevo pensato anch'io ma il fatto è che l'argomento degli arcocoseni non tende a 0 ma tende a 1 e non credo proprio che si possa utilizzare quello sviluppo. Questo per me è un bell'esercizio ci sto pensando da un po'. Ho notato che:
$arccos(x)$ è una funzione decrescente e sempre $\geq 0$, inoltre ponendo $a_k=arccos((k-1)/k)$ e $b_k=arccos(k/(k+1))$, poiché $(k-1)/k$ e $k/(k+1)$ sono crescenti allora lo sono anche $a_k$ e$b_k$ e si può notare come $b_k=a_(k+1)
$a_k-a_(k+1) = arccos((k-1)/k) - arccos(k/(k+1)) \geq 0$
Per $b=1$ la serie converge; si può calcolare anche la somma:
$s_n=\Sigma_(k=1)^n(a_k-a_(k+1)) = a_0 - a_(n+1) = arccos(0) - arccos(n/(n+1)) -> pi/2$
Continuo e cavo dal buco qualcos'altro aggiorno
ci avevo pensato anch'io ma il fatto è che l'argomento degli arcocoseni non tende a 0 ma tende a 1 e non credo proprio che si possa utilizzare quello sviluppo. Questo per me è un bell'esercizio ci sto pensando da un po'. Ho notato che:
$arccos(x)$ è una funzione decrescente e sempre $\geq 0$, inoltre ponendo $a_k=arccos((k-1)/k)$ e $b_k=arccos(k/(k+1))$, poiché $(k-1)/k$ e $k/(k+1)$ sono crescenti allora lo sono anche $a_k$ e$b_k$ e si può notare come $b_k=a_(k+1)
$a_k-a_(k+1) = arccos((k-1)/k) - arccos(k/(k+1)) \geq 0$
Per $b=1$ la serie converge; si può calcolare anche la somma:
$s_n=\Sigma_(k=1)^n(a_k-a_(k+1)) = a_0 - a_(n+1) = arccos(0) - arccos(n/(n+1)) -> pi/2$
Continuo e cavo dal buco qualcos'altro aggiorno
Ti ringrazio Ziben, credo che il tuo ragionamento sia corretto. Però ancora (purtroppo) non abbiamo trovato il valore di b. 
Wow 
veramente lunghissimo. Un parere personale, secondo te è normale che questo sia uno dei quattro esercizi del primo scritto di Analisi 1 (che ho passato) da fare tutto in 2 ore e mezza? Considera che ogni esercizio per risolverlo ci vuole -teoricamente- lo stesso tempo
veramente lunghissimo. Un parere personale, secondo te è normale che questo sia uno dei quattro esercizi del primo scritto di Analisi 1 (che ho passato) da fare tutto in 2 ore e mezza? Considera che ogni esercizio per risolverlo ci vuole -teoricamente- lo stesso tempo
Hai intuito bene, infatti frequento ingegneria 
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