Convergenza di una serie

[Vito9292]

Salve a tutti. Vi propongo questa serie: sommatoria n^(1 - a) / (arctan (1/radice di n) + 1/n^3). Determinare i valori di a per cui la serie converge. Innanzitutto, la serie è infinitesima per a>3/2, in modo che il grado del numeratore sia minore di quello del denominatore (-1/2). Dopo, applico il criterio del rapporto, e arrivo al limite (1+1/n)^(1-a), che deve essere minore di 1, affinché la serie converga. Come lo risolvo? Grazie

[theras]

Ciao!
Stai parlando della serie $sum_(n=1)^(+oo)(n^(1 - a)) / (arctan (1/sqrt(n))+ 1/n^3))$?
In tal caso cerca innanzitutto d'usare meglio il latex,
che da queste parti non son molte le regole da rispettare ma tra esse c'è questa,
e poi confronta asintoticamente con la serie armonica generalizzata d'ordine $(3/2-alpha)$:
le conseguenze sono immediate,
ma il vero problema è che dovresti capire sul serio come,a foglio bianco,scegliere proprio quell''ordine..
Saluti dal web.

[21zuclo]

io proverei a sviluppare \(\displaystyle \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \) visto che per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow0 \)

prova a usare lo sviluppo dell'arctan che è \(\displaystyle \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+....+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2}) \)

prova!