Convergenza di una serie
Sono un po' arrugginito con questi argomenti e chiedo gentilmente aiuto.
Devo vedere se la serie:
$sum_(n=1)^(infty)(2/3)^n$
è convergente o meno.
Mi sembra di ricordare (corollario del criterio di D'Alembert) che, indicato con $a_n$ il termine generico della serie, se:
$lim_(n->oo)a_n^(1/n)=r$
allora la serie converge se r<1 e diverge se r>1.
Se questo è vero, allora devo risolvere questo limite:
$lim_(n->oo)((2/3)^n)^(1/n)=2/3$
E' giusto? O sono completamente "fuori"?
Grazie ancora per la pazienza.
Devo vedere se la serie:
$sum_(n=1)^(infty)(2/3)^n$
è convergente o meno.
Mi sembra di ricordare (corollario del criterio di D'Alembert) che, indicato con $a_n$ il termine generico della serie, se:
$lim_(n->oo)a_n^(1/n)=r$
allora la serie converge se r<1 e diverge se r>1.
Se questo è vero, allora devo risolvere questo limite:
$lim_(n->oo)((2/3)^n)^(1/n)=2/3$
E' giusto? O sono completamente "fuori"?
Grazie ancora per la pazienza.
Risposte
Oppure basta ricordare che $sum_(n=1)^(+oo) q^n$ converge se $q<1$...
Grazie Dorian.
Proseguendo allo stesso modo posso dire che:
$sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
converge in quanto il termine generico di questa serie, per n tendente all'infinito, si comporta come $1/n^2$. E il limite di questo è zero. Quindi inferiore ad 1 e quindi la serie converge.
Anche qui ci siamo ?
Proseguendo allo stesso modo posso dire che:
$sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
converge in quanto il termine generico di questa serie, per n tendente all'infinito, si comporta come $1/n^2$. E il limite di questo è zero. Quindi inferiore ad 1 e quindi la serie converge.
Anche qui ci siamo ?
la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} ar^{n-1}$ converge a $a/(1-r)$ se $|r|<1$
con $r$ ragione della serie e $a$ il "passo"
la serie possiamo riscriverla come $\sum_{n=1}^{+\infty}2/3(2/3)^{n-1}$
hai dunque che converge a $\frac{2/3}{1-2/3}$ cioè converge a $2$
$\sum_{n=1}^{+\infty} ar^{n-1}$ converge a $a/(1-r)$ se $|r|<1$
con $r$ ragione della serie e $a$ il "passo"
la serie possiamo riscriverla come $\sum_{n=1}^{+\infty}2/3(2/3)^{n-1}$
hai dunque che converge a $\frac{2/3}{1-2/3}$ cioè converge a $2$
"alfredo":
Grazie Dorian.
Proseguendo allo stesso modo posso dire che:
$sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
converge in quanto il termine generico di questa serie, per n tendente all'infinito, si comporta come $1/n^2$. E il limite di questo è zero. Quindi inferiore ad 1 e quindi la serie converge.
Anche qui ci siamo ?
gistissimo!
Scusate, ma devo fare due rettifiche:
1) l'indice della sommatoria del primo esercizio $sum_(n=0)^(infty)(2/3)^n$
parte da 0 e non da 1. Tuttavia credo che l'applicazione del criterio di D'Alembert sia comunque corretta.
2) Nel secondo esercizio: $sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
non dobbiamo calcolare il seguente limite: $lim_(n->oo)a_n$
ma: $lim_(n->oo)a_n^(1/n)$
Nel nostro caso, dobbiamo calcolare quindi: $lim_(n->oo)(3/n^2)^(1/n)$
e questo come lo si risolve?
Grazie.
1) l'indice della sommatoria del primo esercizio $sum_(n=0)^(infty)(2/3)^n$
parte da 0 e non da 1. Tuttavia credo che l'applicazione del criterio di D'Alembert sia comunque corretta.
2) Nel secondo esercizio: $sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
non dobbiamo calcolare il seguente limite: $lim_(n->oo)a_n$
ma: $lim_(n->oo)a_n^(1/n)$
Nel nostro caso, dobbiamo calcolare quindi: $lim_(n->oo)(3/n^2)^(1/n)$
e questo come lo si risolve?
Grazie.
Mi rispondo da solo.
$lim_(n->oo)(3/n^2)^(1/n)=1$
quindi il criterio non è applicabile. Giusto?
E allora che si fa?
$lim_(n->oo)(3/n^2)^(1/n)=1$
quindi il criterio non è applicabile. Giusto?
E allora che si fa?
Ciao, dal momento che hai giustamente notato che la serie con n tendente ad infinito si comporta come $1/(n^2)$
prova ad applicare il criterio del confronto. Cioè, date due successioni $an$ e $bn$, se $lim_(n-gt oo) (an)/(bn) = l in R$ allora le due serie delle successioni date hanno lo stesso carattere
prova ad applicare il criterio del confronto. Cioè, date due successioni $an$ e $bn$, se $lim_(n-gt oo) (an)/(bn) = l in R$ allora le due serie delle successioni date hanno lo stesso carattere
Sicuro che tenda a 1???
Rettifico. Due serie hanno lo stesso carattere se $lim_(n->oo) (an)/(bn) = l in R, l != 0$ dove $an$ e $bn$ sono le successioni delle due sommatorie.
il limite esce 1 anche a me...
Verrebbe una forma d'indecisione, precisamente $0^0$...
Non saprei dire di primo impatto il valore del limite, però ad occhio mi verrebbe da dire che tende a zero... Ma forse sbaglio... Come avete trovato il valore $1$?
Non saprei dire di primo impatto il valore del limite, però ad occhio mi verrebbe da dire che tende a zero... Ma forse sbaglio... Come avete trovato il valore $1$?
"alfredo":
Grazie Dorian.
Proseguendo allo stesso modo posso dire che:
$sum_(n=0)^(infty)(3n^2+1)/(n^4+n+1)$
converge in quanto il termine generico di questa serie, per n tendente all'infinito, si comporta come $1/n^2$. E il limite di questo è zero. Quindi inferiore ad 1 e quindi la serie converge.
Anche qui ci siamo ?
Attenzione però, perchè seguendo il tuo ragionamento uno potrebbe erroneamente dire che la serie $sum n/(n^2+3)$,
comportandosi come $1/n$, converge.
Dobbiamo dire che una serie, se si comporta come $1/n^alpha$ con $alpha>1$, converge.
"alfredo":
1) l'indice della sommatoria del primo esercizio $sum_(n=0)^(infty)(2/3)^n$
parte da 0 e non da 1. Tuttavia credo che l'applicazione del criterio di D'Alembert sia comunque corretta.
Non importa se l'indice parte da $0$ o da $1$.
Può partire da dove vuoi, tu studi il comportamento all'infinito.
Il criterio del rapporto (o di D'Alembert) si dimostra proprio sfruttando una disuguaglianza
con una serie geometrica.
Ovvio che non puoi giustificare la convergenza con questo criterio!
Tu dirai: "ma funziona!"
Da un punto di vista logico non puoi utilizzare un criterio per dimostrare un fatto che
serve alla dimostrazione del criterio stesso..
Io direi semplicemente: sappiamo che una serie geometrica $sum_(n=0)^(oo) q^n$ converge <=> $q<1$
quindi la serie data converge
inoltre in tal caso
$sum_(n=0)^(oo) q^n=1/(1-q)$
se poi si vuole dimostrare l'equivalenza..non so se ricordo bene dicendo che ci vuole il criterio dell'integrale.
quindi la serie data converge
inoltre in tal caso
$sum_(n=0)^(oo) q^n=1/(1-q)$
se poi si vuole dimostrare l'equivalenza..non so se ricordo bene dicendo che ci vuole il criterio dell'integrale.
Grazie a tutti coloro che sono intervenuti.
Per Dorian, per risolvere il limite passa alla forma esponenziale
Per Dorian, per risolvere il limite passa alla forma esponenziale
Non ti seguo...
Che intendi???
Dunque, $(3/(n^2))^(1/n) = e^(ln(3/(n^2))/n$
ora puoi moltiplicare e dividere per $3/(n^3)$ e ottenere $e^(ln(3/(n^2))/(3/n^2) * 3/(n^3)$
calcolando il limite quindi $e^0 = 1$
Non capisco a cosa sia dovuta la freccia finale ma il procedimento mi sembra corretto
ora puoi moltiplicare e dividere per $3/(n^3)$ e ottenere $e^(ln(3/(n^2))/(3/n^2) * 3/(n^3)$
calcolando il limite quindi $e^0 = 1$
Non capisco a cosa sia dovuta la freccia finale ma il procedimento mi sembra corretto
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