Convergenza di una serie
Salve, sto preparando l'esame di analisi per l'università e facendo gli esercizi ho trovato questo:
Allora per la parte di teoria non ci sono problemi perchè sulle slide c'è scritto tutto quello che la prof vuole sapere.
Per la seconda parte, ovvero studiare il carattere della serie di termine an non so proprio che criterio applicare.
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
Si enunci la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica e si dica se è soddisfatta dalla serie di termine
$ an=1/sqrtn*log(1+1/sqrtn). $
Si studi inoltre la convergenza di tale serie.
Allora per la parte di teoria non ci sono problemi perchè sulle slide c'è scritto tutto quello che la prof vuole sapere.
Per la seconda parte, ovvero studiare il carattere della serie di termine an non so proprio che criterio applicare.
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
La domanda è chiara: si enunci la condizione necessaria e si verifichi che \(a_n\) la soddisfa. Lo hai fatto? Scrivi qui il tuo svolgimento, per favore.
Dalle slide della prof:
Quindi devo provare che $ lim_(n ->+oo) 1/sqrtn⋅log(1+1/sqrtn)=0 $
So che per $n->+oo$ la frazione $ 1/sqrtn->0$ e quindi mi ritrovo con zero che moltiplica log(1), di conseguenza il limite è 0 e la successione è infinitesima.
Però non so se è giusto il mio ragionamento.
Per quanto riguarda l'equivalenza asintotica in questo caso non capisco come procedere
Una serie di termine \( a_n \) converge se la successione {\( a_n \)} è infinitesima.
Quindi devo provare che $ lim_(n ->+oo) 1/sqrtn⋅log(1+1/sqrtn)=0 $
So che per $n->+oo$ la frazione $ 1/sqrtn->0$ e quindi mi ritrovo con zero che moltiplica log(1), di conseguenza il limite è 0 e la successione è infinitesima.
Però non so se è giusto il mio ragionamento.
"arnett":
A cosa è asintotico $ a_n $?
Per quanto riguarda l'equivalenza asintotica in questo caso non capisco come procedere
"elianna":Male, mannaggia. Cosa studi?
Dalle slide della prof:
Studiare dalle slide è un'esperienza frustrante. Dovresti procurarti un buon libro, invece.
Una serie di termine \( a_n \) converge se la successione {\( a_n \)} è infinitesima.
Quindi devo provare che $ lim_(n ->+oo) 1/sqrtn⋅log(1+1/sqrtn)=0 $Certo che è giusto.
So che per $n->+oo$ la frazione $ 1/sqrtn->0$ e quindi mi ritrovo con zero che moltiplica log(1), di conseguenza il limite è 0 e la successione è infinitesima.
Però non so se è giusto il mio ragionamento.
"dissonance":
Cosa studi?
Studio informatica e purtroppo ho avuto un rifiuto della matematica dal quarto superiore.
"dissonance":
Studiare dalle slide è un'esperienza frustrante. Dovresti procurarti un buon libro, invece.
Si, ma le sue slide sono fatte abbastanza bene per quanto riguarda la teoria, mancano di esercizi e poi all'esame le cose le vuole esattamente come dice lei, o meglio così come le ha scritte sulle slide.
Tornando all'esercizio quindi, assodato che la successione {\( a_n \)} è infinitesima e che quindi la serie potrebbe convergere (non è certo perchè quella è una condizione necessaria ma non sufficiente), che criterio di convergenza potrei usare per studiarne il carattere?
Da quello che ha scritto arnett dovrei usare il criterio del confronto asintotico, una mia collega di corso mi suggerisce il criterio della radice, ma non riesco a capire.
Ho provato a inserire la serie su Wolfram e dice che essa non converge, ma come posso dimostrarlo?
Ciao elianna,
Benvenuta sul forum!
Beh, $ log(1 + 1/sqrtn) $[tex]\sim[/tex]$ 1/sqrtn $ per $n \to +\infty $, quindi...
Benvenuta sul forum!
"elianna":
Per quanto riguarda l'equivalenza asintotica in questo caso non capisco come procedere
Beh, $ log(1 + 1/sqrtn) $[tex]\sim[/tex]$ 1/sqrtn $ per $n \to +\infty $, quindi...
"pilloeffe":
Ciao elianna,
Benvenuta sul forum!
Grazie!
Spero di non darvi troppo fastidio"pilloeffe":
Beh, $ log(1 + 1/sqrtn) $\( \sim \)$ 1/sqrtn $ per $ n \to +\infty $, quindi...
E quindi $ 1/sqrtn⋅log(1+1/sqrtn) $\( \sim \) $ 1/sqrtn * 1/sqrtn = 1/n$ per $ n \to +\infty $ giusto? E da lì è la serie armonica
Cercando in rete però ho anche trovato che $ lim_(n -> +oo) log(1+b_n)/b_n $ con $ b_n $ infinitesima è uguale a $1/ln(a)$
Può andare comunque bene come ragionamento?
P.S.: come notazione la prof usa $ log $ per indicare $ log_2 $
"arnett":
Quindi questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica: giusto. Cioè converge o no?
Inoltre: il criterio del confronto asintotico si applica con delle ipotesi. Quali? La tua serie le soddisfa?
Infine: scritta così quella proposizione, o teorema come vuoi, è falsa. Sicura che sia precisamente così sulle slide? Se sì: diffida delle slide in questione. Strano, perché la formulazione della domanda invece è corretta.
Dalle slide si capisce che la serie armonica converge solo se l'esponente di n è strettamente maggiore di 1 e qui ovviamente non lo è.
La proposizione da me citata dalle slide afferma che quella sia una condizione necessaria ma non sufficiente affinché la serie converga, perchè sarebbe falsa?
No, ho sbagliato io a scrivere, la prof l'ha scritto bene
Grazie a tutti dell'aiuto e buona giornata
Grazie a tutti dell'aiuto e buona giornata
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