Convergenza di una serie
Buonasera a tutti,
vi chiedo una mano su un argomento su cui sono decisamente arrugginita
La consegna dell'esercizio chiede di trovare per quali \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \) la serie è convergente:
Ho cambiato parametro per far partire la serie da 0 (forse non era necessario?)
\(\displaystyle t=n+1 \Longrightarrow
\sum_{t=0}^\infty \frac{x^{2t-3}}{t!}\)
Ho pensato di usare il criterio del rapporto e ottengo:
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \left| \frac{x^{2t-1}}{(t+1)!}\right| \cdot \left| \frac{t!}{x^{2t-3}} \right|=\lim_{t\to\infty} \frac{x^2}{t+1} \)
Per cui dato che il limite tende a 0, la serie è convergente \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \)?
Vi ringrazio anticipatamente per la cortesia e la pazienza.
vi chiedo una mano su un argomento su cui sono decisamente arrugginita
La consegna dell'esercizio chiede di trovare per quali \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \) la serie è convergente:
\(\displaystyle \sum_{n=-1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(n+1)!}\)
Ho cambiato parametro per far partire la serie da 0 (forse non era necessario?)
\(\displaystyle t=n+1 \Longrightarrow
\sum_{t=0}^\infty \frac{x^{2t-3}}{t!}\)
Ho pensato di usare il criterio del rapporto e ottengo:
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \left| \frac{x^{2t-1}}{(t+1)!}\right| \cdot \left| \frac{t!}{x^{2t-3}} \right|=\lim_{t\to\infty} \frac{x^2}{t+1} \)
Per cui dato che il limite tende a 0, la serie è convergente \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \)?
Vi ringrazio anticipatamente per la cortesia e la pazienza.
Risposte
Occhio al dominio delle funzioni coinvolte...
Giusto, quindi devo escludere solo il caso \(\displaystyle x=0 \)?
Grazie
Grazie
Già.
Ciao Zelda89,
Benvenuta sul forum!
Facendo uso proprio della posizione che hai pensato, non è neanche difficile scoprire a quale funzione converge la serie proposta, infatti si ha:
$ \sum_{n=-1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n+1)!} = \sum_{t=0}^{+\infty} \frac{x^{2t-3}}{t!} = 1/x^3 \cdot \sum_{t=0}^{+\infty} \frac{(x^2)^t}{t!} = 1/x^3 \cdot e^{x^2} = e^{x^2}/x^3 $
Benvenuta sul forum!
Facendo uso proprio della posizione che hai pensato, non è neanche difficile scoprire a quale funzione converge la serie proposta, infatti si ha:
$ \sum_{n=-1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n+1)!} = \sum_{t=0}^{+\infty} \frac{x^{2t-3}}{t!} = 1/x^3 \cdot \sum_{t=0}^{+\infty} \frac{(x^2)^t}{t!} = 1/x^3 \cdot e^{x^2} = e^{x^2}/x^3 $
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