Convergenza di una serie

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti, l esercizio chiede di trovare per quali valori di $b$ la serie converge.

$\sum_{k=1}^infty k^(2/b)[cos^-1(k/(k+2))]^(2b)$

ho provato cosi: la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta se il limite per $k->infty$ di $a_k=0$ quindi:

$lim_(k->infty) k^(2/b)[arccos(k/(k+2))]^(2b)$

trasformato in questo modo $lim_(k->infty) [cos^-1(k/(k+2))]^(2b)/(1/ k^(2/b))$

posso utilizzare de l hopital

$D[cos^-1(k/(k+2))]^(2b)]= 2/((k+2)sqrt((k+2)^2-k^2))(2bcos^-1(k/(k+2))^(2b-1))$

$=2/((k+2)sqrt(4k+4))(2bcos^-1(k/(k+2))^(2b-1))$

$=1/((k+2)sqrt(k))(2bcos^-1(k/(k+2))^(2b-1))$

$=1/(k^(3/2))(2bcos^-1(k/(k+2))^(2b-1))$

mentre la $D[1/k^(2/b)]=-2bk^(-2b-1)$


ora ricomponiamo il limite

$lim_(k->infty) 1/(k^(3/2))cos^-1(k/(k+2))^(2b-1)(1/k^(-2b-1))$

$= 1/(k^((1/2)-(2/b)))cos^-1(k/(k+2))^(2b-1)$

che è uguale a zero per $b>4$

potrei concludere con il confronto asintotico ma guardando il limite su wolpfram alpha si vede già che i miei calcoli sono del tutto errati, infatti la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta per $[-1.41,0)$ e $[1.41,infty)$

potete darmi qualche suggerimento per risolverla? non capisco come fare

[cristian.vitali.102]

grazie mille per la risposta, ora il limite diventa piu semplice

mi rimane da capire com è arrivato a quella stima..