Convergenza di una serie
Ciao,
in questo esercizio:
per valutare la veridicità delle richieste posso valutare la convergenza puntuale facendo $lim_{k\rightarrow +\infty}$ dell'argomento della serie fornita, quindi fare:
$ lim_{k\rightarrow +\infty} (\frac{x}{3})^k(3-x)$
Che vale $0$ se $0
$+\infty$ se $x<3$
A questo punto valuto la convergenza uniforme facendo nell'intervallo in cui ho convergenza puntuale:
$lim_{k\rightarrow 0} (\frac{x}{3})^k(3-x) =0$
e
$lim_{k\rightarrow 3} (\frac{x}{3})^k(3-x) =0$
Quindi posso dire che la risposta è la $b$?
in questo esercizio:
per valutare la veridicità delle richieste posso valutare la convergenza puntuale facendo $lim_{k\rightarrow +\infty}$ dell'argomento della serie fornita, quindi fare:
$ lim_{k\rightarrow +\infty} (\frac{x}{3})^k(3-x)$
Che vale $0$ se $0
$+\infty$ se $x<3$
A questo punto valuto la convergenza uniforme facendo nell'intervallo in cui ho convergenza puntuale:
$lim_{k\rightarrow 0} (\frac{x}{3})^k(3-x) =0$
e
$lim_{k\rightarrow 3} (\frac{x}{3})^k(3-x) =0$
Quindi posso dire che la risposta è la $b$?
Risposte
Questa è una successione di funzioni certamente continue (sono polinomi) ma che convergono puntualmente in $[0,3]$ alla funzione discontinua $f(x)={(x,\ x \in [0,3)),(0,\ x=3):}$, e non convergono uniformemente infatti:
$Sup_{x \in [0,3]} |f_n-f|=Sup_{x \in [0,3]} |x^{n+1}/3^n|=3$
$Sup_{x \in [0,3]} |f_n-f|=Sup_{x \in [0,3]} |x^{n+1}/3^n|=3$
Apparte ti basta sapere che $(f_n)_n$ (continua) converge puntualmente ad una funzione discontinua per dire che non converge uniformemente.
Ok ho capito grazie!
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