Convergenza di una serie

[nilloi]

Mi aiutate a risolvere questi esercizi sulla convergenza delle serie ?

per quali $ alpha $ la serie converge ?
1)$ sum((n+log n)^alpha/n^2) $


2) $ sum((n^2+n+4)/(n+1)^alpha) $

3) $ sum((n+1)^alpha/(n^2)) $

Grazie

[bassi0902]

Puoi applicare il criterio dell'integrale, con le classiche approssimazioni riguardanti l'andamento asintotico delle potenze puoi riuscire a determinare per quali valori di $\alpha$ le serie convergono.

[nilloi]

ciao. purtroppo ho ripreso da poco e ho ancora dei dubbi a riguardo. qualcuno sa risolvermi questo esercizio mettendomi i passaggi vari? ho provato ad apllicare il metodo dell'integrale ma non riesco ad effettuare i calcoli.

L'unica soluzione che ho trovato è quella di ragionare sull'ordine massimo e calcolare $alpha$ in modo empirico .
Per esempio nel caso dell'esercizio so che per n -> $\infty$ $alpha$ < 2 ma esiste il caso della funzione armonica con $alpha$=1 quandi come risposta ho dato $alpha$<1

Non sono sicuro sia il metodo di procedere giusto e se il invece il metdo dell'integrale è la via corretta m servono i passaggi di almeno 2 di questi esercizi per capire bene

Grazie

[nilloi]

nessuno?

[luc.mm]

La serie di termine $ 1/n^(alpha) $ converge solo per $ alpha>1 $. Usa il confronto asintotico.

Il primo:

$n^(alpha)(1+logn/n)^alpha/n^2 $ è asintotico a $n^(alpha-2)$ e converge per $ alpha<1 $