Convergenza di una serie
Ciao ragazzi, ho appena fatto l'esame di Analisi II e vorrei sapere se ho azzeccato un esercizio in attesa dei risultati, perché se l'ho sbagliato è probabile che mi convochi all'orale e in tal caso devo ripetere un bel pò di cose e avrei anche altri esami.
Sia $ a_n<=0 $ e $ b_n=a_(2n+1) $ . Allora $ sum(b_n) $ :
Era un quiz e ho crociato la risposta: se $ sum(a_n) $ diverge, allora $ sum(b_n) $ diverge.
Ho ragionato in questo modo:
$ a_n<=0 $ quindi $ a_(2n+1) <= a_n $ quindi $ 0<=-a_n<=-a_(2n+1) $
Per il criterio del confronto, se $ sum(-a_n) $ diverge allora $ sum(-a_(2n+1)) $ diverge e quindi appunto se $ sum(a_n) $ diverge, allora $ sum(b_n) $ diverge
Ho anche cercato di dimostrarlo con un esempio:
$ a_n=-n $ allora $ b_n=-(2n+1) $
$ -(2n+1)<=(-n)<=0 $ allora $ 0<=n<=2n+1 $
$ sum(n) $ diverge quindi anche $ sum(2n+1) $ diverge
E' giusto?
Sia $ a_n<=0 $ e $ b_n=a_(2n+1) $ . Allora $ sum(b_n) $ :
Era un quiz e ho crociato la risposta: se $ sum(a_n) $ diverge, allora $ sum(b_n) $ diverge.
Ho ragionato in questo modo:
$ a_n<=0 $ quindi $ a_(2n+1) <= a_n $ quindi $ 0<=-a_n<=-a_(2n+1) $
Per il criterio del confronto, se $ sum(-a_n) $ diverge allora $ sum(-a_(2n+1)) $ diverge e quindi appunto se $ sum(a_n) $ diverge, allora $ sum(b_n) $ diverge
Ho anche cercato di dimostrarlo con un esempio:
$ a_n=-n $ allora $ b_n=-(2n+1) $
$ -(2n+1)<=(-n)<=0 $ allora $ 0<=n<=2n+1 $
$ sum(n) $ diverge quindi anche $ sum(2n+1) $ diverge
E' giusto?
Risposte
Ciao!
Mi dispiace ma hai sbagliato.
Ti mostro un controesempio, prendi la successione $a_n$ definita nel seguente modo:
$\{(a_{2n+1}=-1/(n+1)^2),(a_{2n}=-1/n):}$
In pratica la successione è formata per gli indici pari dalla serie armonica (cambiata di segno) e per quelli dispari dalla serie armonica generalizzata $sum_{k=1}^infty 1/k^{alpha}$ con $alpha=2$ (sempre cambiata di segno)
Chiaramente $sum_{k=1}^infty a_k = -infty$ e quindi diverge
Tuttavia $sum_{k=0}^infty b_k = sum_{k=0}^infty a_{2k+1} = sum_{k=0}^infty -1/(k+1)^2 = sum_{k=1}^infty -1/k^2 = -pi^2/6$ e quindi converge.
Se ti stai chiedendo quale parte del tuo ragionamento non ha funzionato ti posso citare questi:
Il primo "quindi" è sbagliato.. il fatto che la successione $a_n$ sia a termini negativi non ti dice nulla sulla relazione tra di essi (cioè quel $a_{2n+1}<=a_n$ che hai scritto)
Il confronto non si può usare, si potrebbe se fosse stata vera la relazione scritta su, che appunto non era vera
Un esempio non dimostra mai nulla!
Un controesempio può mostrare che un'affermazione è falsa (come quello che ti ho scritto)
ma il fatto che un esempio non contraddica un'affermazione, non dice nulla sulla sua verità!
Mi dispiace ma hai sbagliato.
Ti mostro un controesempio, prendi la successione $a_n$ definita nel seguente modo:
$\{(a_{2n+1}=-1/(n+1)^2),(a_{2n}=-1/n):}$
In pratica la successione è formata per gli indici pari dalla serie armonica (cambiata di segno) e per quelli dispari dalla serie armonica generalizzata $sum_{k=1}^infty 1/k^{alpha}$ con $alpha=2$ (sempre cambiata di segno)
Chiaramente $sum_{k=1}^infty a_k = -infty$ e quindi diverge
Tuttavia $sum_{k=0}^infty b_k = sum_{k=0}^infty a_{2k+1} = sum_{k=0}^infty -1/(k+1)^2 = sum_{k=1}^infty -1/k^2 = -pi^2/6$ e quindi converge.
Se ti stai chiedendo quale parte del tuo ragionamento non ha funzionato ti posso citare questi:
"ClAuDi0":
$ a_n<=0 $ quindi $ a_(2n+1) <= a_n $ quindi $ 0<=-a_n<=-a_(2n+1) $
Il primo "quindi" è sbagliato.. il fatto che la successione $a_n$ sia a termini negativi non ti dice nulla sulla relazione tra di essi (cioè quel $a_{2n+1}<=a_n$ che hai scritto)
"ClAuDi0":
Per il criterio del confronto, se $ sum(-a_n) $ diverge allora $ sum(-a_(2n+1)) $ diverge
Il confronto non si può usare, si potrebbe se fosse stata vera la relazione scritta su, che appunto non era vera
"ClAuDi0":
Ho anche cercato di dimostrarlo con un esempio:
Un esempio non dimostra mai nulla!
Un controesempio può mostrare che un'affermazione è falsa (come quello che ti ho scritto)
ma il fatto che un esempio non contraddica un'affermazione, non dice nulla sulla sua verità!
Ciao e grazie per la risposta! Comunque ho un dubbio sul tuo esempio.
Se $a_n=-1/n$ , allora sarà $ a_(2n+1)=-1/(2n+1) $
Quella scritta da te dovrebbe essere $ -a_(2n+1)^2=-1/(2n+1)^2 $ ma nel caso in questione non è la serie al quadrato che mi interessa o sbaglio?
Allora in questo caso, $ 0<=1/(2n+1)<=1/n $ cioè nel caso generico: $ 0<=-a_(2n+1)<=-a_n $ quindi se $a_n$ diverge non si può dire nulla su $a_(2n+1)$ e quindi non posso usare il criterio del confronto.
Tuttavia essendo $-a_(2n+1)$ e $-a_n $ positive posso usare il criterio del confronto asintotico per risolvere l'esempio in questione:
$ lim_(n->+oo)((1/n)/(1/(2n+1)))=2 $ cioè $ lim_(n->+oo)((-a_n)/(-a_(2n+1)))= l>0 $ cioè $ -a_n$ e $-a_(2n+1) $ hanno lo stesso carattere quindi anche in questo caso è vero che se $a_n$ diverge allora anche $a_(2n+1)$ diverge.
Tu dirai, in questo caso è vero anche che se $a_(2n+1)$ diverge allora anche $a_n$ diverge, ma questa risposta non c'era.
Cosa ne pensi?? Grazie, è bello confrontarsi
Se $a_n=-1/n$ , allora sarà $ a_(2n+1)=-1/(2n+1) $
Quella scritta da te dovrebbe essere $ -a_(2n+1)^2=-1/(2n+1)^2 $ ma nel caso in questione non è la serie al quadrato che mi interessa o sbaglio?
Allora in questo caso, $ 0<=1/(2n+1)<=1/n $ cioè nel caso generico: $ 0<=-a_(2n+1)<=-a_n $ quindi se $a_n$ diverge non si può dire nulla su $a_(2n+1)$ e quindi non posso usare il criterio del confronto.
Tuttavia essendo $-a_(2n+1)$ e $-a_n $ positive posso usare il criterio del confronto asintotico per risolvere l'esempio in questione:
$ lim_(n->+oo)((1/n)/(1/(2n+1)))=2 $ cioè $ lim_(n->+oo)((-a_n)/(-a_(2n+1)))= l>0 $ cioè $ -a_n$ e $-a_(2n+1) $ hanno lo stesso carattere quindi anche in questo caso è vero che se $a_n$ diverge allora anche $a_(2n+1)$ diverge.
Tu dirai, in questo caso è vero anche che se $a_(2n+1)$ diverge allora anche $a_n$ diverge, ma questa risposta non c'era.
Cosa ne pensi?? Grazie, è bello confrontarsi
Aspetta credo di non aver capito cosa intendi all'inizio!
Quando dici che $a_n=-1/n$ e che $-a_{2n+1}^2=-1/(2n+1)^2$ stai facendo un altro esempio prendendo spunto da quello che ho scritto io o stai riscrivendo il mio esempio? Perchè non è quella la successione che ho scritto io!
Ps. Assolutamente d'accordo sul confrontarsi!
Quando dici che $a_n=-1/n$ e che $-a_{2n+1}^2=-1/(2n+1)^2$ stai facendo un altro esempio prendendo spunto da quello che ho scritto io o stai riscrivendo il mio esempio? Perchè non è quella la successione che ho scritto io!
Ps. Assolutamente d'accordo sul confrontarsi!
Ho preso spunto dal tuo esempio. Voglio dire che se $ a_n=-1/n $ allora $a_(n+1)=-1/(n+1)$ e non $ -1/(n+1)^2 $ che corrisponde invece ad $-a_(n+1)^2$. Era questo passaggio che non mi convinceva. Quindi se considero il tuo stesso esempio privo del quadrato (che non mi spiego, poi magari non ho capito io) allora, seppur con un metodo diverso (confronto asintotico anziché confronto) arrivo allo stesso risultato
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