Convergenza di una serie
ho trovato questo semplice esercizio sul libro ma non so bene come risolverlo correttamente:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k^24^k}{2^k+5^k} \)
in particolare vorrei sapere se è possibile in qualche modo raggruppare il denominatore in modo a poterne estrarre la radice ennesima, utile a calcolare il raggio di convergenza.
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k^24^k}{2^k+5^k} \)
in particolare vorrei sapere se è possibile in qualche modo raggruppare il denominatore in modo a poterne estrarre la radice ennesima, utile a calcolare il raggio di convergenza.
Risposte
prima di applicare il criterio della radice, ti conviene stabilire l'infinto dominante a denominatore
sarebbe sbagliato scrivere:
\(\displaystyle (2+3)^k +o((2+3)^k) \)?
\(\displaystyle (2+3)^k +o((2+3)^k) \)?
Non è neanche sbagliato scrivere (è un po' piccolo ma si dovrebbe leggere):
$ \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((2^k+5^k)/(4^k))$
$ \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((2^k+5^k)/(4^k))$
questo passaggio mi è chiaro, ma in questo modo posso estrarre la radice?
Non devi estrarre nessuna radice
$ \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((2^k+5^k)/(4^k)) = \sum_{k=0}^\infty (k^2)/(((1/2)^k+(5/4)^k))< \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((5/4)^k)$.
L'ultima serie converge ?
$ \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((2^k+5^k)/(4^k)) = \sum_{k=0}^\infty (k^2)/(((1/2)^k+(5/4)^k))< \sum_{k=0}^\infty (k^2)/((5/4)^k)$.
L'ultima serie converge ?
Ops letto una cosa per un'altra 
dovrebbe convergere l'ultima perché l'esponenziale ha base >1 e quest'ultimo va ad infinito più velocemente della potenza giusto?
ok
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