Convergenza di una serie
Di nuovo...
Per quali \(\displaystyle \alpha \) converge la serie
\(\displaystyle \sum \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha} + logn} \)
\(\displaystyle log = \) logaritmo naturale
Il mio ragionamento è questo:
la serie è asintotica a:
\(\displaystyle \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha}} \)
che è minore di \(\displaystyle \frac {1}{n^{3 \alpha}} \)
Di conseguenza se \(\displaystyle 3 \alpha>1 \) la serie converge! Ma il risultato non mi torna...
Per quali \(\displaystyle \alpha \) converge la serie
\(\displaystyle \sum \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha} + logn} \)
\(\displaystyle log = \) logaritmo naturale
Il mio ragionamento è questo:
la serie è asintotica a:
\(\displaystyle \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha}} \)
che è minore di \(\displaystyle \frac {1}{n^{3 \alpha}} \)
Di conseguenza se \(\displaystyle 3 \alpha>1 \) la serie converge! Ma il risultato non mi torna...
Risposte
certo che non torna, non puoi concludere cosi: anzitutto si osserva che la serie è a termini positivi, in quanto il numeratore è senz'altro maggiore di zero come il denominatore; allora essendo in presenza di una serie a termini positivi, possiamo applicare al termine generale il criterio del confronto asintotico:
\begin{align}
\frac{\left[\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^{\alpha}}{n^{3\alpha}+\ln n}\sim\frac{ \left( \frac{1}{n}\right) ^{\alpha}}{n^{3\alpha}}=\frac{1}{n^{4\alpha}}
\end{align}
da cui concludi....
\begin{align}
\frac{\left[\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^{\alpha}}{n^{3\alpha}+\ln n}\sim\frac{ \left( \frac{1}{n}\right) ^{\alpha}}{n^{3\alpha}}=\frac{1}{n^{4\alpha}}
\end{align}
da cui concludi....
\(\displaystyle \alpha> \frac{1}{4} \)... 
io ho usato quel teorema che dice che
se ho \(\displaystyle an>bn \): se \(\displaystyle an \) converge, convergerà per forza anche \(\displaystyle bn \), e se \(\displaystyle bn \) diverge, divergerà anche \(\displaystyle an \)!! \(\displaystyle \frac {3}{n^{3 \alpha}} \) è sicuramente maggiore di \(\displaystyle \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha}} \), però non torna.... perchè?
avevo sbagliato prima,
è \(\displaystyle \frac {3}{n^{3 \alpha}} \) , non \(\displaystyle \frac {1}{n^{3 \alpha}} \)
io ho usato quel teorema che dice che
se ho \(\displaystyle an>bn \): se \(\displaystyle an \) converge, convergerà per forza anche \(\displaystyle bn \), e se \(\displaystyle bn \) diverge, divergerà anche \(\displaystyle an \)!! \(\displaystyle \frac {3}{n^{3 \alpha}} \) è sicuramente maggiore di \(\displaystyle \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha}} \), però non torna.... perchè?
avevo sbagliato prima,
è \(\displaystyle \frac {3}{n^{3 \alpha}} \) , non \(\displaystyle \frac {1}{n^{3 \alpha}} \)
"Oo.tania":
.... \(\displaystyle \frac {3}{n^{3 \alpha}} \) è sicuramente maggiore di \(\displaystyle \frac {[log(1+ \frac{1}{n})]^\alpha}{n^{3 \alpha}} \), però non torna.... perchè?
tutta sta sicurezza da dove arriva?
No aspetta avevo fatto giusto all'inizio......... -.- \(\displaystyle log(1 + \frac {1}{n}) \) è sicuramente minore di \(\displaystyle 1 \), perchè \(\displaystyle 1 + \frac {1}{n} \) non sarà mai \(\displaystyle >2 \) e \(\displaystyle log2 \) è \(\displaystyle <1 \)... no?
si questo ok!
e questo non basta per convalidare la mia affermazione?
è come dire \(\displaystyle \frac{1}{2}< \frac {2} {2} \)... qualsiasi numero >1 che metto al numeratore mi darà una frazione maggiore di \(\displaystyle \frac{1}{2}\).. no?
è come dire \(\displaystyle \frac{1}{2}< \frac {2} {2} \)... qualsiasi numero >1 che metto al numeratore mi darà una frazione maggiore di \(\displaystyle \frac{1}{2}\).. no?
si certo , ma li hai un parametro, $\alpha $ che varia non un numero fissato
Ma perchè non sono in grado di fare questo tipo di esercizio?? Guarda qua:
\(\displaystyle \sum \frac {n^3+e^{-n}}{(sin^2(\frac{1}{n}))^ \alpha} \)
è asintotico a \(\displaystyle \frac {n^3}{\frac{1}{n^{2 \alpha}}} \)
se \(\displaystyle \alpha>0 \) ho \(\displaystyle n^3*n^ \alpha \) che non converge;
se \(\displaystyle \alpha <0 \) ho \(\displaystyle \frac {n^3}{n^{2 \alpha}} \) che converge se \(\displaystyle 2 \alpha >3 \)
Ma è sbagliato....
Se non ci fosse il parametro sarebbe un ragionamento giusto?
\(\displaystyle \sum \frac {n^3+e^{-n}}{(sin^2(\frac{1}{n}))^ \alpha} \)
è asintotico a \(\displaystyle \frac {n^3}{\frac{1}{n^{2 \alpha}}} \)
se \(\displaystyle \alpha>0 \) ho \(\displaystyle n^3*n^ \alpha \) che non converge;
se \(\displaystyle \alpha <0 \) ho \(\displaystyle \frac {n^3}{n^{2 \alpha}} \) che converge se \(\displaystyle 2 \alpha >3 \)
Ma è sbagliato....
Se non ci fosse il parametro sarebbe un ragionamento giusto?
Da $n^3/{1/n^{2\alpha}}$ conviene scrivere tutto così
$n^3\cdot n^{2\alpha}=n^{3+2\alpha}=1/{n^{-3-2\alpha}}$
In questo modo vedi subito l'identificazione con una serie armonica generalizzata. Essa converge per $-3-2\alpha>1$ e diverge negli altri casi.
$n^3\cdot n^{2\alpha}=n^{3+2\alpha}=1/{n^{-3-2\alpha}}$
In questo modo vedi subito l'identificazione con una serie armonica generalizzata. Essa converge per $-3-2\alpha>1$ e diverge negli altri casi.
Perfetto grazie!!! Bisogna sempre cercare di ricondursi all'armonica generalizzata giusto?
in generale si, ma anche a qualsiasi seri di cui tu conosca la convergenza e sia confrontabile con quella che hai assegnata
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