Convergenza di una serie
Data la serie
\(\displaystyle \sum (1-\cos(\frac{1}{n^a})) \) per quali valori di a converge?
Il criterio di convergenza dice che \(\displaystyle \sum (an) \) converge solo se \(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (an) \)è uguale a 0.
Quindi \(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (1-\cos(\frac{1}{n^a})) \)=0
Ma se semplicemente sostituisco a n il valore \(\displaystyle +\infty \), se pongo \(\displaystyle a>0 \):
\(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (1-\cos(\frac{1}{+\infty})) \) = \(\displaystyle \lim (1-cos(0)) \) = \(\displaystyle 1-1=0 \)
quindi perchè non posso dire che la serie converge per \(\displaystyle a>0 \)?
Io avrei dato questa risposta, ma il risultato è diverso..
\(\displaystyle \sum (1-\cos(\frac{1}{n^a})) \) per quali valori di a converge?
Il criterio di convergenza dice che \(\displaystyle \sum (an) \) converge solo se \(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (an) \)è uguale a 0.
Quindi \(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (1-\cos(\frac{1}{n^a})) \)=0
Ma se semplicemente sostituisco a n il valore \(\displaystyle +\infty \), se pongo \(\displaystyle a>0 \):
\(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (1-\cos(\frac{1}{+\infty})) \) = \(\displaystyle \lim (1-cos(0)) \) = \(\displaystyle 1-1=0 \)
quindi perchè non posso dire che la serie converge per \(\displaystyle a>0 \)?
Io avrei dato questa risposta, ma il risultato è diverso..
Risposte
Calma, calma, vediamo di fare un po' d'ordine: visto che è hora tarda (per me) non garantisco risultati attendibili al 100% però sono abbastanza lucido.
Ricordo che è una condizione necessaria ma non sufficiente. Cioè se la serie converge vuol dire che il termine principale è infinitesimo ma quest'ultima implicazione non risolve la questione da sola.
Al massimo si può dire che se non è infinitesimo il termine principale allora la serie non converge.
PS. Se scrivi "a_n" tra due simboli di dollaro ottieni $a_n$.
Non puoi dire che converge per il motivo che ti ho detto: ricordo che la condizione è necessaria ma non sufficiente. Comunque la scrittura che utilizzi, cioè
$lim(n->+\infty)(1-cos(\frac{1}{+\infty}))$ non è formalmente esatta perché dire "sostituisco $n$ con $+\infty$" è una cosa che si fa a mente (
) oltre che si può disquisire filosoficamente su cose come l'infinito non esiste come quantità o altre questioni tecniche come il fatto che quella scrittura non ha senso ecc...
Anche qui un PS. Se metti la barra bassa anche sul limite ottieni una sorpresa (la barra bassa serve per il pedice in generale ).
"lim_(n->+\infty)(1-cos(1/(+\infty)))"
racchiudendolo tra simboli di dollaro
$lim_(n->+\infty)(1-cos(1/(+\infty)))$,
nel quale puoi vedere che la barra bassa ti mette $n->\infty$ in basso
"Oo.tania":
Il criterio di convergenza dice che \(\displaystyle \sum (an) \) converge solo se \(\displaystyle \lim (n \rightarrow +\infty) (an) \)è uguale a 0.
Ricordo che è una condizione necessaria ma non sufficiente. Cioè se la serie converge vuol dire che il termine principale è infinitesimo ma quest'ultima implicazione non risolve la questione da sola.
Al massimo si può dire che se non è infinitesimo il termine principale allora la serie non converge.
PS. Se scrivi "a_n" tra due simboli di dollaro ottieni $a_n$.
Non puoi dire che converge per il motivo che ti ho detto: ricordo che la condizione è necessaria ma non sufficiente. Comunque la scrittura che utilizzi, cioè
$lim(n->+\infty)(1-cos(\frac{1}{+\infty}))$ non è formalmente esatta perché dire "sostituisco $n$ con $+\infty$" è una cosa che si fa a mente (
) oltre che si può disquisire filosoficamente su cose come l'infinito non esiste come quantità o altre questioni tecniche come il fatto che quella scrittura non ha senso ecc...Anche qui un PS. Se metti la barra bassa anche sul limite ottieni una sorpresa (la barra bassa serve per il pedice in generale
)."lim_(n->+\infty)(1-cos(1/(+\infty)))"
racchiudendolo tra simboli di dollaro
$lim_(n->+\infty)(1-cos(1/(+\infty)))$,
nel quale puoi vedere che la barra bassa ti mette $n->\infty$ in basso
Ma quindi come si stabilisce la convergenza?
Grazie per le dritte
Grazie per le dritte
Puoi provare scegliendo il criterio di convergenza che più ti aggrada: se parli di stabilire il carattere di una serie suppongo che li hai visti a lezione.
Come hai già notato, e come ti hanno fatto notare, la prima cosa da fare è osservare che il termine generale della serie risulti infinitesimo, cioè calcolare:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)
\end{align*}
essendoci un parametro andranno distiniti i vari casi, cioè
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)=\begin{cases}\not \exists,&\mbox{se}\quad a<0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
1-\cos1,&\mbox{se}\quad a=0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
0,&\mbox{se}\quad a>0\Rightarrow\mbox{la serie POTREBBE converge}\\
\end{cases}
\end{align*}
allora nel caso in cui il parametro è positivo, possiamo cercare la convergenza della serie; per poter applicare i criteri di convergenza dobbiamo prima assicurarci che il termine generale della serie sia positivo, in quanto i criteri di convergenza si possono applicare solo a serie a termini positivi; si verifica facilmente che
\begin{align*}
\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos \frac{1}{n^a} <1\qquad\Rightarrow\qquad \forall \,\,n\in\mathbb{N}
\end{align*}
abbiamo a che fare dunque con una serie a terimini positivi, e possiamo quindi applicare un qualsivoglia criterio adatto per stabilirne la convergenza; è evidente che in questo caso, la presenza del $cos$ ci indirizza ad utilizzare il criterio del confronto asintotico, essendo noto il fatto che, quando $n\to+\infty$
\begin{align*}
1-\cos \frac{1}{n^a}\sim \frac{1}{2n^{2a}}
\end{align*}
allora il termine generale della serie data si comporta asintoticamente come il termine generale della serie $\frac{1}{2n^{2a}}$ su cui è più facile fare considerazioni: infatti:
\begin{align*}
\frac{1}{2n^{2a}} \to \text{converge} \qquad\Leftrightarrow\qquad a>1/2
\end{align*}
quindi possiamo concludere che la serie data risulterà convergente per i valori di $a>1/2$ per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.
Puoi osservare come i valori del parametro $0
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)
\end{align*}
essendoci un parametro andranno distiniti i vari casi, cioè
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)=\begin{cases}\not \exists,&\mbox{se}\quad a<0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
1-\cos1,&\mbox{se}\quad a=0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
0,&\mbox{se}\quad a>0\Rightarrow\mbox{la serie POTREBBE converge}\\
\end{cases}
\end{align*}
allora nel caso in cui il parametro è positivo, possiamo cercare la convergenza della serie; per poter applicare i criteri di convergenza dobbiamo prima assicurarci che il termine generale della serie sia positivo, in quanto i criteri di convergenza si possono applicare solo a serie a termini positivi; si verifica facilmente che
\begin{align*}
\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos \frac{1}{n^a} <1\qquad\Rightarrow\qquad \forall \,\,n\in\mathbb{N}
\end{align*}
abbiamo a che fare dunque con una serie a terimini positivi, e possiamo quindi applicare un qualsivoglia criterio adatto per stabilirne la convergenza; è evidente che in questo caso, la presenza del $cos$ ci indirizza ad utilizzare il criterio del confronto asintotico, essendo noto il fatto che, quando $n\to+\infty$
\begin{align*}
1-\cos \frac{1}{n^a}\sim \frac{1}{2n^{2a}}
\end{align*}
allora il termine generale della serie data si comporta asintoticamente come il termine generale della serie $\frac{1}{2n^{2a}}$ su cui è più facile fare considerazioni: infatti:
\begin{align*}
\frac{1}{2n^{2a}} \to \text{converge} \qquad\Leftrightarrow\qquad a>1/2
\end{align*}
quindi possiamo concludere che la serie data risulterà convergente per i valori di $a>1/2$ per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.
Puoi osservare come i valori del parametro $0
"Noisemaker":
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n^a}\right)=\begin{cases}\not \exists,&\mbox{se}\quad a<0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
1-\cos1,&\mbox{se}\quad a=0\Rightarrow\mbox{la serie non converge}\\
0,&\mbox{se}\quad a>0\Rightarrow\mbox{la serie POTREBBE converge}\\
\end{cases}
\end{align*}
Preciso solamente che questo si collega a quello che ho detto nel primo post di questa discussione, cioè che il fatto che il termine generale sia infinitesimo è una condizione necessaria ma non sufficiente (per questo Noisemaker ha scritto "potrebbe" in maiuscolo).
Grazie 1000 ragazzi!!
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