Convergenza di un integrale improprio con modulo e equazione differenziale

[littleflower9]

Qualcuno potrebbe risolvere questo integrale:
$ int_ (-oo)^(0)(|log|x||)/(1-x)^2dx $

e la seguente equazione differenziale?
$ 4tx(t)x'(t)=x^2(t)+1 $

[anto_zoolander]

Ciao e benvenut*!

Dovresti far vedere un minimo di buona volontà nel tentativo di svolgerlo per poi lavorare assieme su quello

[littleflower9]

Dato che ho due punti di discontinuità per x=0 e per x=-inf.Io ho impostato il lim di x che tende a m (-inf) dell'integrale che va da m a o della funzione log(x)/(1-x^2) più il limite di x che tende a c(che sarebbe 0)dell'integrale che va da -inf a c di log(x)/(1-x^2).E' corretta l'impostazione?

[cooper1]

io dividerei l'integrale di partenza così:
$int_(-oo)^(-1)(log|x|)/(1-x^2)dx+int_(-1)^(0)-(log|x|)/(1-x)^2dx$
che converge se convergono entrambi gli integrali. ora si tratta di usare il criterio asintotico

[littleflower9]

Quindi il primo verrebbe un integrale asintotico a x/-x^2 quindi 1/x (che diverge) + un integrale -x/-x^2 quindi 1/x?E' corretto?

[cooper1]

a parte che mi sono accorto di un errore di trascrizione (il denominatore del primo integrale è $(1-x)^2$ e non $1-x^2$) i tuoi calcoli sono sbagliati: perchè sparisce il logaritmo? e comunque nell'intorno di quali punti valuti l'asintoticità dei due integrali?

[littleflower9]

Come si dovrebbe svolgere ? oppure c'è un esempio simile(qualche sito) su internet su cui mi posso esercitare e confrontare?

[cooper1]

"littleflower9":c'è un esempio simile(qualche sito) su internet su cui mi posso esercitare e confrontare?

sicuramente se cerchi qualcosa su google come integrali impropri trovi un sacco di roba, anche qui sul forum.
per quanto riguarda il nostro integrale:
il primo ha problemi solo in un intorno di $-oo$ ed in nessun altro punto in $(-oo,-1)$. in quest'intorno l'integrando è asintotico a $1/(x^2 log^(-1)(-x))$ che quindi converge per confronto asintotico con l'integrale notevole collegato
il secondo integrale invece è sintomatico solo in 0, i punti che annullano il denominatore sono infatti fuori dall'intervallo. nell'intorno di questo punto l'integrando è asintotico a $-log(-x)$ che per confronto diverge.
nel complesso quindi l'integrale di partenza è divergente

[littleflower9]

Grazie mille per la risposta!!