Convergenza di un integrale improprio

[fenghuang]

ciao a tutti, sto facendo un po' di esercizi sugli integrali impropri e vorrei capire una volta per tutte come si fa a stabilire la convergenza di un integrale. A spanne credo di aver capito come si fa, ma vorrei essere sicuro di star facendo tutto giusto. Inoltre non credo di conoscere perfettamente l'iter per determinare convergenza e divergenza di un generico integrale improprio quindi se qualcuno ha voglia di scrivere qualcosa a riguardo (o se li ha sotto mano, scrivere dei link sull'argomento), mi sarebbero di grande aiuto. Di seguito scrivo un esercizio che mi ha creato qualche problema.

Mi viene richiesto di studiare la convergenza dell'integrale improprio al variare di $a$ reale

$\int_0^(+infty) ((x^a)(logx)^(7/3))/((x-a)^3) dx$

Caso $a = 0$

$f_0 (x)= ((logx)^(7/3))/(x^3)$

posso dire che in questo caso non è integrabile in senso improprio su $(0,1]$ perché so che per $x->0$ la funzione va all'infinito, e quindi non è estensibile con continuità, giusto?

Sarebbe quindi inutile studiare cosa succede tra [1,+infty), ma lo faccio comunque per mostrare un'altra perplessità.

In questo caso, per $x-> +infty$ la mia funzione va a zero, e quindi l'integrale improprio potrebbe convergere. Per stabilirlo io ho fatto questo ragionamento, che non so se è corretto, ovvero:

$f_0 (x)= ((logx)^(7/3))/(x^3)$

So, dall'integrale noto

$\int_1^(+infty) g(t) = 1/((t-c)^α) dt$ , con $t in (1,+infty)$

converge se $α > 1$ e diverge per $α <= 1$

Quindi il mio integrale converge se e solo se $3 > 1$ che è sempre vera, quindi esisterebbe integrale improprio se considerassi solo $[1, +infty)$.
La mia domanda è se è corretto ricondursi a questo integrale noto o se devo fare altro per stabilire la convergenza del mio integrale improprio.
Nel complesso $f(x)$ non è integrabile in senso improprio su $(0,+infty)$

Andando avanti nell'esercizio

Caso $a<0$

ho che $f_a$ è continua su $(0, +infty)$ e che

per $x->0_+$ la mia funzione $f_a (x) ~ 1/((-a)^3) 1/(x^(-a)(logx)^(-7/3))$

per $x-> +infty$ la mia funzione $f_a (x) ~ 1/(x^(3-a)(logx)^(-7/3))$

per determinare se converge mi rifaccio all'integrale noto

$\int_M^(+infty) g(t) = 1/(t^α log^β t) dt$

che converge se $α > 1$ per ogni $β$ oppure per $α=1$ e $β>1$

e quindi nel mio caso $ 3 - α > 1 iff a < 2 $

e rifacendomi all'integrale noto

$\int_b^0 g(t) = 1/(t^α log^β t) dt$

che converge se $α < 1$ per ogni $β$ oppure per $α=1$ e $β>1$

quindi nel mio caso $-a < 1$ ovvero $a>-1$

è corretto?

Caso a>0

ho che $f$ è continua e definita su $(0,a) uu (a,+infty)$

per $x->a_+-$

ho che

$f(x) ~ (a^a(log a)^(7/3))/((x-a)^3)$ se $a != 1$

e che

$f(x) ~ (log(x)^(7/3))/((x-1)^3) ~ (log(1 +x -1)^(7/3))/((x-1)^3) ~ 1/((x-1)^(2/3))$ se $a =1$

quindi noto che, l'integrale non converge(giusto?) per $a != 1$ perché $3 < 1$ non è mai verificata

(rifacendomi all'integrale

$\int_0^1 g(t) = 1/((t-c)^α) dt$

che converge per $α < 1$ )

Quindi analizzo il caso $a=1$ che

per $x -> +infty$ la mia funzione $f(x) ~ 1/(x^2(logx)^-(7/3))$

e per $x->0$ la mia funzione tende a 0

quindi ho che all'infinito non ci sono problemi per la convergenza, a zero nemmeno, e per $x->a$ non credo ci siano problemi, ma non sono sicuro del perchè. Io direi perchè la funzione è asintotica a 1/((x-1)^(2/3)) e quindi estendibile con continuità(il che non crea problemi).
é corretto il ragionamento?

ringrazio tutti quanti in anticipo per l'attenzione e l'aiuto

[Quinzio]

Per $a > 0 $ l'integrale non converge mai, perchè la funzione si comporta come un $1/(x-a)^3$ e l'integrale diverge, nell'intorno di $a$.
Per $a<0$ il ragionamento che hai fatto è corretto, si conclude che l'integrale converge per $-1< a < 0$