Convergenza di un integrale improprio
Ho questo integrale tra \(\displaystyle o \) e \(\displaystyle +\infty \)
\(\displaystyle \int \frac{x}{(2x^3 + x)^\beta} \)
\(\displaystyle lim(t->+ \infty) \) \(\displaystyle \int \frac{x}{(2x^3 + x)^\beta} \)
se \(\displaystyle \beta >0 \) è asintotico a \(\displaystyle \int \frac{x}{2x^{3\beta}} \)
quindi \(\displaystyle \int \frac{1}{2x^{2\beta}} \)
che converge per \(\displaystyle 2\beta>1 \)..dove ho sbagliato?
\(\displaystyle \int \frac{x}{(2x^3 + x)^\beta} \)
\(\displaystyle lim(t->+ \infty) \) \(\displaystyle \int \frac{x}{(2x^3 + x)^\beta} \)
se \(\displaystyle \beta >0 \) è asintotico a \(\displaystyle \int \frac{x}{2x^{3\beta}} \)
quindi \(\displaystyle \int \frac{1}{2x^{2\beta}} \)
che converge per \(\displaystyle 2\beta>1 \)..dove ho sbagliato?
Risposte
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(2x^3+x)^{\beta}}\]
la funzione integranda è definita per ogni $x\ne0$, quindi nell'intervallo $(0,+\infty)$ l'integrale risulta improrpio in entrambi gli estremi di integrazione; la funzione è sempre positiva $(0,+\infty)$ , quindi si può applicare il criterio del confronto asintotico: allora abbiamo che, considerando la funzione integranda,
se $x\to 0^+$,
\[ \frac{x}{(2x^3+x)^{\beta}}\sim \frac{1}{x^{\beta-1}}\to \mbox{converge se } \beta-1<1,\beta<2\]
se $x\to +\infty$,
\[ \frac{x}{(2x^3+x)^{\beta}}\sim\frac{x}{x^{3\beta}}=\frac{1 }{x^{3\beta-1}}\to \mbox{converge se } 3\beta-1>1,\beta>2/3\]
dunque l'integrale converge se $2/3< \beta<2$
la funzione integranda è definita per ogni $x\ne0$, quindi nell'intervallo $(0,+\infty)$ l'integrale risulta improrpio in entrambi gli estremi di integrazione; la funzione è sempre positiva $(0,+\infty)$ , quindi si può applicare il criterio del confronto asintotico: allora abbiamo che, considerando la funzione integranda,
se $x\to 0^+$,
\[ \frac{x}{(2x^3+x)^{\beta}}\sim \frac{1}{x^{\beta-1}}\to \mbox{converge se } \beta-1<1,\beta<2\]
se $x\to +\infty$,
\[ \frac{x}{(2x^3+x)^{\beta}}\sim\frac{x}{x^{3\beta}}=\frac{1 }{x^{3\beta-1}}\to \mbox{converge se } 3\beta-1>1,\beta>2/3\]
dunque l'integrale converge se $2/3< \beta<2$
è vero devo fare il limite anche per l'altro estremo!!
Ma quindi per \(\displaystyle §(x->0) \)\(\displaystyle \frac{1}{x^\alpha} \) la convergenza si ha per \(\displaystyle a<1 \)?
Invece se è per \(\displaystyle( x-> \infty) \) per \(\displaystyle \alpha >1 \)?
Ma quindi per \(\displaystyle §(x->0) \)\(\displaystyle \frac{1}{x^\alpha} \) la convergenza si ha per \(\displaystyle a<1 \)?
Invece se è per \(\displaystyle( x-> \infty) \) per \(\displaystyle \alpha >1 \)?
esattamente!
Perfetto grazie 1000 ancora
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