Convergenza di un integrale doppio

[dissonance]

Sto leggendo "Function Spaces" di Kufner et al., Remark 6.8.3. Si dice (con un piccolo adattamento mio):

Since \(N-\varepsilon < N\), the integral
\[\int_{\Omega}dx \int_{\Omega}dy \lvert x-y\rvert^{-N+\varepsilon}\]
is finite.

Qui \(\Omega\) è un aperto limitato di \(\mathbb{R}^N\) e \(\varepsilon >0\). Come fa ad essere tanto sicuro di questo fatto in mezza riga?

E' chiaro che l'integrale in \(dy\), quello più interno, è finito per ogni \(x\) fissata, per cui la funzione

\[F(x)=\int dy \lvert x-y\rvert^{-N+\varepsilon}\]

è ben definita e ovunque finita. Ma come concludere che \(F(x)\in L^1(\Omega)\)?

PS: Ah no aspetta, aspetta, che fesso che sono! \(F(x)\) è costante e quindi è integrabile su un aperto limitato. Giusto? E si, mi sa proprio di si.

[Paolo902]

Domanda del babbeo (curioso) di turno: perché dici che $F(x)$ è costante? Io non lo vedo...

[dissonance]

Uff, mi sa che hai ragione tu, non è costante, mi confondevo col caso \(\Omega=\mathbb{R}^N\) dove peraltro l'integrale diverge.

Però effettivamente il problema nel primo post non deve essere una cosa su cui perdere troppo tempo. Forse l'autore aveva in mente di sfruttare questa disuguaglianza:

\[\lvert x-y\rvert^{-N+\varepsilon}\le 2^{-N+\varepsilon} \left(\frac{\lvert x \rvert^{-N+\varepsilon}}{2}+\frac{\lvert y \rvert^{-N+\varepsilon}}{2}\right).\]

Mi pare che questa funzioni.

[Rigel1]

Si può ragionare così: se \(R>0\) è tale che \(\Omega\subset B_R(x)\) per ogni \(x\in\Omega\) (cosa possibile visto che \(\Omega\) è limitato), hai che
\[
0\leq F(x) \leq \int_{B_R(x)} |x-y|^{-N+\epsilon} dy = \omega_n \int_0^R \rho^{\epsilon-1} = \omega_n R^{\epsilon}/\epsilon.
\]

[dissonance]

Grazie Rigel! Questa che dici è sicuramente la maniera più illuminante di vedere la cosa.