Convergenza di un integrale complicato
Dire per quali valori di $a$ l'integrale converge? (non ho la soluzione e nemeno il risultato)
$\int int_A sqrt(x)/(|x-y|^a) dxdy$
dove $A{x,y}$ è: $0<=x<=1$ e $0<=y<=sqrt(x)$
Buon divertimento!
$\int int_A sqrt(x)/(|x-y|^a) dxdy$
dove $A{x,y}$ è: $0<=x<=1$ e $0<=y<=sqrt(x)$
Buon divertimento!
Risposte
Si, da vedere così fa impressione, ma non è complicato dire quando converge. Il risultato esatto è un altro discorso.
Intanto si nota che $\sqrtx<=1, x\in[0,1]$, quindi una facile maggiorazione è:
$ \int int_A sqrt(x)/(|x-y|^a) dxdy <=\int int_A 1/(|x-y|^a) dxdy$.
Faccio un cambio di variabili $u=x-y, v=x+y$, trascurando lo jacobiano della trasformazione che è una costante
$\int int_A 1/(|u|^a) dudv = v \int 1/(|u|^a) du$.
L'area di integrazione è finita, il problema è dove $u=0$.
Questo integrale però dovrebbe essere familiare e converge per $a<1$.
Intanto si nota che $\sqrtx<=1, x\in[0,1]$, quindi una facile maggiorazione è:
$ \int int_A sqrt(x)/(|x-y|^a) dxdy <=\int int_A 1/(|x-y|^a) dxdy$.
Faccio un cambio di variabili $u=x-y, v=x+y$, trascurando lo jacobiano della trasformazione che è una costante
$\int int_A 1/(|u|^a) dudv = v \int 1/(|u|^a) du$.
L'area di integrazione è finita, il problema è dove $u=0$.
Questo integrale però dovrebbe essere familiare e converge per $a<1$.
@Quinzio:
quella maggiorazione è eccessiva (ti fa perdere parecchi valori di \(a\) per i quali invece c'è convergenza).
Mi sembra comunque che l'integrale si calcoli abbastanza agevolmente.
quella maggiorazione è eccessiva (ti fa perdere parecchi valori di \(a\) per i quali invece c'è convergenza).
Mi sembra comunque che l'integrale si calcoli abbastanza agevolmente.
A me il discorso di Quinzio torna, perchè dici che è eccessiva?
Anche usando mathematica sembra che il ragionamento di quinzio torni, qundo $a<1$ l'integale converge..
Anche usando mathematica sembra che il ragionamento di quinzio torni, qundo $a<1$ l'integale converge..
Ecco il calcolo di mathematica
Integrate[Sqrt[x]/Abs[x - y]^a, {x, 0, 1}, {y, 0, Sqrt[x]}]
ConditionalExpression[(
2/(-5 + 2 a) - (2 Gamma[2 - a] Gamma[4 - a])/Gamma[6 - 2 a])/(-1 +
a), Re[a] < 1
E' vero, l'integrale converge se e solo se \(a < 1\).
Con quella maggiorazione dimostri però che l'integrale converge se \(a < 1\), ma non che diverge se \(a \geq 1\).
Con quella maggiorazione dimostri però che l'integrale converge se \(a < 1\), ma non che diverge se \(a \geq 1\).
giusto! Quindi tu come faresti per dimostrare che diverge quando $a>=1$ ?
Devi scrivere esplicitamente l'integrale doppio (come hai fatto con Mathematica); l'integrale interno (quello in \(y\)) va spezzato come
\[
\int_0^x \frac{1}{(x-y)^a}\, dy + \int_x^{\sqrt{x}} \frac{1}{(y-x)^a}\, dy\,.
\]
Questi integrali, per \(x\in (0,1)\), sono finiti se e solo se \(a < 1\).
\[
\int_0^x \frac{1}{(x-y)^a}\, dy + \int_x^{\sqrt{x}} \frac{1}{(y-x)^a}\, dy\,.
\]
Questi integrali, per \(x\in (0,1)\), sono finiti se e solo se \(a < 1\).
Possibile che tu abbia sbagliato a scrivere gli estremi di integrazione? nell'intervallo considerato ti ricordo che $x>=sqrt(x)$
"baldo89":
Possibile che tu abbia sbagliato a scrivere gli estremi di integrazione? nell'intervallo considerato ti ricordo che $x>=sqrt(x)$
\(x\) non sta fra \(0\) e \(1\)?
si si scusami hai ragione ovviamente! adesso provo a dimostrare che gli integrali che hai scritto convergono se $a<=1$
grazie intanto a te e a quinzio
grazie intanto a te e a quinzio
sinceramente non ci riesco 
provando a calcolarmi le primitive mi salta fuori questo
$\int_{0}^{1} sqrt(x)/(-a+1) (x^(-a+1)-|x-sqrt(x)|^(-a+1)) dx$
provando a calcolarmi le primitive mi salta fuori questo
$\int_{0}^{1} sqrt(x)/(-a+1) (x^(-a+1)-|x-sqrt(x)|^(-a+1)) dx$
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