Convergenza di un integrale

[Superandri91]

se ho un integrale tipo questo:
$\int_{0}^{\infty} (ln|1-x^2|)/x^a dx$ e mi chiede di calcolare per quali valori di a l'integrale converge...
è giusto se faccio prima il lim per x che tende a 0 e siccome $ln|1-x^2|$ è asintotico a $-x^2$, al denominatore mi ritrovo $x^(a-2)$ e quindi basta porre $a-2<1$ e quindi $a<3$!
poi faccio il limite per x che tende a infinito e pongo $a-2>1$ e quindi $a<3$?
quindi il sistema non ha soluzioni giusto?

[gramschmidt91]

Io penso che dovresti applicare semplicemente il criterio dell'ordine di infinitesimo, quindi verificando qual'è l'ordine di infinitesimo di $f(x)$ per $x->+oo$ e avrai come hai detto prima che il numeratore è asintotico a $x^2$ e il denominatore è di ordine $a$. Perchè la funzione sia infinitesimo l'ordine del denominatore dev'essere maggiore di quello del numeratore e quindi hai la prima disequazione da risolvere; la seconda da inserire nel sistema è dalla condizione affinchè l'integrale converga e cioè l'ordine di infinitesimo dev'essere maggiore di 1..... qualche calcolo e il gioco è fatto. Ciao!!

[Superandri91]

bè ma primo è asintotico a $-x^2$ non a $x^2$ come dici tu! poi è sbagliato quello che ho scritto? perchè non abbiamo mai risolto un esercizio con l'ordine di infinitesimo!

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un integrale generalizzato anche per $x=1$.

[Superandri91]

eh?

[Sk_Anonymous]

Devi controllare la convergenza dell'integrale non solo per $x to 0^+$ e per $x to +oo$, ma anche per $x to 1$. Quando $x to 1$, quel logaritmo diverge.

[Superandri91]

ok ma in che senso devo controllare il logaritmo? a livello pratico cosa dovrei fare?

[Sk_Anonymous]

Far vedere come si comporta la funzione anche quando $x to 1$. Prova a spezzare il logaritmo, magari facendo i due casi $x to 1^-$ e $x to 1^+$. Invece, il denominatore non è un problema.