Convergenza di successioni di funzioni
Buona sera a tutti.
Sono alle prese con la convergenza puntuale e uniforme delle successioni di funzioni.
Ipotizziamo di avere una successione di funzioni convergente puntualmente a una funzione \(\displaystyle f \).
Fissiamo un qualsiasi \(\displaystyle \varepsilon >0\).
Allora se noi prendiamo \(\displaystyle x_0 \) avremo che \(\displaystyle \exists n_0 \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni "disteranno" da \(\displaystyle f(x_0) \) meno di \(\displaystyle \varepsilon \).
Analogamente, se prendiamo \(\displaystyle x_1 \) avremo che \(\displaystyle \exists n_1 \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni "disteranno" da \(\displaystyle f(x_1) \) meno di \(\displaystyle \varepsilon \).
E questo \(\displaystyle \forall x \in D \) (se D è il dominio).
Abbiamo, quindi, un infinito numero di \(\displaystyle n_k \) che dipendono dalla \(\displaystyle x_k \) (e da \(\displaystyle \varepsilon \), ma lo abbiamo fissato prima uguale per tutte le ascisse scelte).
Prendendo il massimo tra questi \(\displaystyle n_k \) non ho appena trovato un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni tendono al valore di f, a prescindere dalla ascissa presa in considerazione? E, in caso affermativo, questa non è la definizione di convergenza uniforme?
Grazie mille
Sono alle prese con la convergenza puntuale e uniforme delle successioni di funzioni.
Ipotizziamo di avere una successione di funzioni convergente puntualmente a una funzione \(\displaystyle f \).
Fissiamo un qualsiasi \(\displaystyle \varepsilon >0\).
Allora se noi prendiamo \(\displaystyle x_0 \) avremo che \(\displaystyle \exists n_0 \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni "disteranno" da \(\displaystyle f(x_0) \) meno di \(\displaystyle \varepsilon \).
Analogamente, se prendiamo \(\displaystyle x_1 \) avremo che \(\displaystyle \exists n_1 \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni "disteranno" da \(\displaystyle f(x_1) \) meno di \(\displaystyle \varepsilon \).
E questo \(\displaystyle \forall x \in D \) (se D è il dominio).
Abbiamo, quindi, un infinito numero di \(\displaystyle n_k \) che dipendono dalla \(\displaystyle x_k \) (e da \(\displaystyle \varepsilon \), ma lo abbiamo fissato prima uguale per tutte le ascisse scelte).
Prendendo il massimo tra questi \(\displaystyle n_k \) non ho appena trovato un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) oltre il quale tutte le funzioni tendono al valore di f, a prescindere dalla ascissa presa in considerazione? E, in caso affermativo, questa non è la definizione di convergenza uniforme?
Grazie mille
Risposte
"longosamuel":
Prendendo il massimo tra questi \(\displaystyle n_k \)
E chi ti dice che esiste?
"otta96":
[quote="longosamuel"]Prendendo il massimo tra questi \(\displaystyle n_k \)
E chi ti dice che esiste?[/quote]
Mm...ok. Mi hai distrutto con 6 parole; te ne sono infinitamente grato.
La convergenza totale non è una nozione di convergenza per le successioni di funzioni, ma per le serie.
"gugo82":Erroraccio mio, ho "banalmente" scritto male, intendevo "uniforme" nella seconda riga. Comunque correggo subito; grazie mille!
La convergenza totale non è una nozione di convergenza per le successioni di funzioni, ma per le serie.
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