Convergenza di serie numeriche con parametro

[claudioz94]

Ciao a tutti, volevo un consiglio su questo esercizio che non riesco a fare (e in generale tutti gli esercizi di questo tipo, in cui compare un parametro "alpha" e bisogna trovare i vari valori del parametro per cui la serie risulta convergente...
Tenete conto che in teoria dovrei essere in grado di capire il comportamento di una serie numerica (avendo studiato i vari strumenti: tabellina di serie, teoremi algebrici, condizione necessaria, criterio della radice, criterio della radice, criterio del confronto e del confronto asintotico, Leibnitz ecc...).

Grazie in anticipo!

[stormy1]

vediamo se questo suggerimento ti aiuta
per $n rarr+infty$ si ha $ e^(1/sqrtn)-1~1/sqrtn $
infatti, $ lim_(x -> 0)(e^x-1)/x=1 $

[claudioz94]

E' facile capire il comportamento della serie... vedo (usando l'equivalenza asintotica) che la serie è circa come quella detta da te (che converge).
Poi uso il confronto asintotico e (con un rapido cambio di variabile) dimostro che la serie iniziale CONVERGE.
La mia domanda è, per quali valori di quell'alpha come esponente? Non riesco a metterlo in relazione col comportamento della serie

[ciampax]

Se hai capito cosa far, dovresti aver capito anche che tutta la serie si comporta come quella di termine generale $1/{n^{\alpha/2}}$, per cui (domanda: ma hai capito davvero? Perché non sembra)

[claudioz94]

Mmmm, dunque mi state dicendo che:
Per alpha <= 2 la serie diverge
Per alpha > 2 la serie converge

[ciampax]

Obviously...

[claudioz94]

Grazie mille!!