Convergenza di serie al variare di alfa positivo
Ciao, mi servirebbe una mano per capire come studiare la convergenza di alcune serie la variare del parametro alfa.
Di solito uso limiti notevoli per semplificare le serie e ridurle a quelle fondamentali, ma qua non mi riesce bene.
A) $\sum_{n=1}^infty log(n+e^(-n))/(n^alpha) $
B) $\sum_{n=1}^infty log(n+cos(n))/(n^alpha) $
C) $\sum_{n=1}^infty log(n+arctan(n))/(n^alpha) $
Da quello che ho capito studiare la convergenza significa studiare la coda della serie, per cui ragiono con $ n\rightarrow infty $
Una domanda secca è questa: nella serie A $ e^(-n) $ tende a zero, mentre nella B e nella C $ cos(n)$ e $arctan(n) $ sono due quantità limitate... posso approssimare tutte e tre le serie a
$\sum_{k=1}^infty log(n)/(n^alpha) $
e poi usare la serie armonica generalizzata?
Intanto grazie mille.
Di solito uso limiti notevoli per semplificare le serie e ridurle a quelle fondamentali, ma qua non mi riesce bene.
A) $\sum_{n=1}^infty log(n+e^(-n))/(n^alpha) $
B) $\sum_{n=1}^infty log(n+cos(n))/(n^alpha) $
C) $\sum_{n=1}^infty log(n+arctan(n))/(n^alpha) $
Da quello che ho capito studiare la convergenza significa studiare la coda della serie, per cui ragiono con $ n\rightarrow infty $
Una domanda secca è questa: nella serie A $ e^(-n) $ tende a zero, mentre nella B e nella C $ cos(n)$ e $arctan(n) $ sono due quantità limitate... posso approssimare tutte e tre le serie a
$\sum_{k=1}^infty log(n)/(n^alpha) $
e poi usare la serie armonica generalizzata?
Intanto grazie mille.
Risposte
Certo.
Damanda stupida, ma sei proprio sicuro che sia corretto?
Mi sembra strano perché significherebbe che un sacco di esami del mio professore di analisi hanno esercizi in pratica uguali!
Mi sembra strano perché significherebbe che un sacco di esami del mio professore di analisi hanno esercizi in pratica uguali!
Sono sicuro. Vedi anche serie notevole $\sum_(n=1)^oo 1/(nlog^alpha(n))$ , che converge per $alpha > 1$ .
Grazie. Speriamo bene per l' esame di domani

In bocca al lupo!

Crepi! Ciao e grazie ancora.