Convergenza di serie
Buongiorno! Avrei bisogno di qualche aiuto, conferma e/o smentita sulla risoluzione del seguente esercizio:
Sia $\sum_{n=o}^infty a_n$ una serie a termini reali, discutere le seguenti affermazioni:
a) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge semplicemente se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono semplicemente
b) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge semplicemente solo se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono semplicemente
c) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge assolutamente se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono assolutamente
d) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge assolutamente solo se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$ convergono assolutamente
Io direi:
La b) è falsa, perché prendendo la serie $a_n\=\(-1)^n/n$ la serie converge semplicemente ma le altre due no.
La d) è vera, perché dato che prendo i termini in valore assoluto, posso maggiorare ciascuna delle due sottosuccessioni con $\sum_{n=o}^infty a_n$ che converge per ipotesi.
Per la a) e la c) ho qualche perplessità... In generale posso dire che $\sum_{n=o}^infty a_n\=\sum_{n=o}^infty a_{2n}\+\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$? Perché se così fosse, allora sarebbero entrambe vere suppongo.
Ciao e grazie!
Sia $\sum_{n=o}^infty a_n$ una serie a termini reali, discutere le seguenti affermazioni:
a) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge semplicemente se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono semplicemente
b) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge semplicemente solo se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono semplicemente
c) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge assolutamente se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{n=o}^infty a_{2n+1}$ convergono assolutamente
d) $\sum_{n=o}^infty a_n$ converge assolutamente solo se $\sum_{n=o}^infty a_{2n}$ e $\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$ convergono assolutamente
Io direi:
La b) è falsa, perché prendendo la serie $a_n\=\(-1)^n/n$ la serie converge semplicemente ma le altre due no.
La d) è vera, perché dato che prendo i termini in valore assoluto, posso maggiorare ciascuna delle due sottosuccessioni con $\sum_{n=o}^infty a_n$ che converge per ipotesi.
Per la a) e la c) ho qualche perplessità... In generale posso dire che $\sum_{n=o}^infty a_n\=\sum_{n=o}^infty a_{2n}\+\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$? Perché se così fosse, allora sarebbero entrambe vere suppongo.
Ciao e grazie!
Risposte
Infatti direi che è così. Siccome l'esercizio dice di "discutere le seguenti affermazioni" lascia intuire che può essercene anche più di 1 vera.
Si si infatti, ma quindi $\sum_{n=o}^infty a_n\=\sum_{n=o}^infty a_{2n}\+\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$ è qualcosa di vero? E' giusto il modo in cui l'ho usata?
"Giso":
Si si infatti, ma quindi $\sum_{n=o}^infty a_n\=\sum_{n=o}^infty a_{2n}\+\sum_{k=o}^infty a_{2n+1}$ è qualcosa di vero?
Certamente.
E' giusto il modo in cui l'ho usata?
Si.
Diciamo che la b) è falsa nel senso che è troppo restrittiva, cioè non c'è bisogno della convergenza di $S_(2n)$ e $S_(2_n+1)$ per far convergere $S_n$.
Anche la c) può essere ambigua nel senso che omette il fatto che la convergenza di $S_(2n)$ e $S_(2_n+1)$ è necessaria oltre che sufficiente.
E' un po' un esercizio del piffero... nel senso che è più un esercizio di logica che altro.
L'affermazione "A è vera se B è vera", significa che B è sufficiente per avere A (cioè B implica A). Ma A può essere vera indipendentemente da B.
L'affermazione "A è vera se e solo se B è vera", significa che B è sufficiente e necessaria per avere A (cioè B equivale ad A e viceversa).
Anche la c) può essere ambigua nel senso che omette il fatto che la convergenza di $S_(2n)$ e $S_(2_n+1)$ è necessaria oltre che sufficiente.
E' un po' un esercizio del piffero... nel senso che è più un esercizio di logica che altro.
L'affermazione "A è vera se B è vera", significa che B è sufficiente per avere A (cioè B implica A). Ma A può essere vera indipendentemente da B.
L'affermazione "A è vera se e solo se B è vera", significa che B è sufficiente e necessaria per avere A (cioè B equivale ad A e viceversa).
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