Convergenza di questa serie

[dave031]

devo verificare la convergenza o meno di questa serie...però non sono sicuro del metodo che ho usato:

$sum_(n=1)^(+infty) ((n!)^2n^3)/((2n)!)$

mi sembra proprio che la serie converga, soltanto che non so con che funzione confrontarla...mi verrebbe da dire che ,definitivamente per $n->+(infty)$, $((n!)^2n^3)/((2n)!)$ si comporta come $(n!)/((2n)!)$, dunque potrei dire che
$1/n^2 >= (n!)/((2n)!)$ e pertando essendo

$sum_(n=1)^(+infty) 1/n^2 $

un'armonica convergente, allora anche la serie iniziale è convergente...no eh?

[_Tipper]

Quando ci sono fattoriali e/o esponenziali conviene usare il criterio del rapporto, il più delle volte risolve i problemi.

PS: Non avevo notato la tua firma, veramente simpatica

[Pulcepelosa]

"dave03":..mi verrebbe da dire che ,definitivamente per $n->+(infty)$, $((n!)^2n^3)/((2n)!)$ si comporta come $(n!)/((2n)!)$

A mio avviso:
per $n->+(infty)$ $(((n!)^2n^3)/((2n)!))/((n!)/((2n)!))=((n!)^2n^3)/((2n)!)*((2n)!)/(n!)$ è asintotica ad $n!*n^3$ quindi $((n!)^2n^3)/((2n)!)$non è dello stesso ordine di $(n!)/((2n)!)$

Quoto tipper per il criterio del rapporto.

[dave031]

allora, se i miei calcoli non sono errati (...e facilmente potrebbero esserlo! ... ) col criterio del rapporto verrebbe una cosa del genere:

$lim_(n->+infty)[ ((n+1)!^2(n+1)^3)/((2n+1)!) * ((2n)!)/((n!)^2n^3) ]$

allora...applicando la definizione di fattoriale come: $n! = n * [(n-1)!$] mi risulterebbe che: $ ((2n)!)/((2n+1)!) =$
$ = ((2n)!)/((2n+1)*((2n)!)) = 1/(2n+1)$ mentre $ [(n+1)!]^2/(n!)^2 = ((n+1)^2 * [(n!)^2])/(n!)^2 = (n+1)^2$
quindi il mostruoso limite di partenza diventa:

$lim_(n->+infty) ((n+1)^2(n+1)^3)/((2n+1)n^3) = ((n^2+2n+1)(n^3+1+3n^2+3n))/(2n^4+1+n^3)$
dato che è un rapporto tra polinomi posso considerare solo i termini di grado più alto, per cui:

$lim_(n->+infty)n^5/(2n^4) = +infty$
quindi dato che il limite del rapporto è >1 allora la serie non converge ...se i miei calcoli sono giusti, nel mio post iniziale ero completamente fuori strada ....sbaglio?

[Pulcepelosa]

"dave03": mi risulterebbe che: $ ((2n)!)/((2n+1)!) = ((2n)!)/((2n+1)*((2n)!)) = 1/(2n+1)$

Guarda, i fattoriali che non sono semplici tipo $n!$ mi hanno sempre dato fastidio
Cmq dovrebbe essere cosi', e attendo conferme:
Il termine successivo della serie che usi per il rapporto e':
$((2n)!)/((2(n+1))!) =((2n)!)/((2n+2)!)= ((2n)!)/((2n+2)*(2n+1)*((2n)!))$ (in pratica mancava una parentesi tonda)
Per il resto sai come procedere...

[dave031]

"Pulcepelosa":[quote="dave03"] mi risulterebbe che: $ ((2n)!)/((2n+1)!) = ((2n)!)/((2n+1)*((2n)!)) = 1/(2n+1)$

Guarda, i fattoriali che non sono semplici tipo $n!$ mi hanno sempre dato fastidio
Cmq dovrebbe essere cosi', e attendo conferme:
Il termine successivo della serie che usi per il rapporto e':
$((2n)!)/((2(n+1))!) =((2n)!)/((2n+2)!)= ((2n)!)/((2n+2)*(2n+1)*((2n)!))$ (in pratica mancava una parentesi tonda)
Per il resto sai come procedere... [/quote]
certo certo...ho sbagliato...
allora mi troverei con questo limite:
$lim_(n->infty)n^5/(4n^5)=1/4$ e quindi la serie convergerebbe...quindi i miei sospetti iniziali erano esatti
mmm...interessante, sono riuscito a contraddirmi 2 volte
muhaumhauhamuhamumhamuhamuhaumhamhahaahhaahha