Convergenza di integrali in due variabili
Salve a tutti 
Ho diversi dubbi a stabilire se un integrale doppio converge o no, potreste darmi una mano per favore? L'esercizio che sto cercando di risolvere è il seguente:
Sia [tex]B = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \geq 1, x \geq 0, y \geq 0}.[/tex] Mostrare che [tex]\int_{B}{}{\frac{\arctan(x+y)}{(x^2 + y^2)^2}}dxdy < +\infty[/tex]
Per prima cosa ho fatto un cambio di variabili, passando in coordinate polari, ottenendo:
[tex]B = {(\rho,\theta) \in \mathbb{R}^2 : \rho \geq 1, \theta \in [0, \frac{\pi}{2}}].[/tex]
[tex]\int_{B}{}{\frac{\arctan(\rho(\cos\theta + \sin\theta))}{\rho^4}}\rho d\rho d\theta[/tex].
Ora, sarei tentata di affermare che l'integrale converge perché al numeratore abbiamo una funzione limitata e [tex]\frac{1}{\rho^4}[/tex] tende a zero più velocemente di [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma è corretto affermarlo in questo caso?
E più in generale, quando ho questo tipo di esercizi in due variabili, ci sono dei particolari "accorgimenti" che potrebbero aiutarmi a trovare la soluzione?
Grazie mille per l'attenzione.
Ho diversi dubbi a stabilire se un integrale doppio converge o no, potreste darmi una mano per favore? L'esercizio che sto cercando di risolvere è il seguente:
Sia [tex]B = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \geq 1, x \geq 0, y \geq 0}.[/tex] Mostrare che [tex]\int_{B}{}{\frac{\arctan(x+y)}{(x^2 + y^2)^2}}dxdy < +\infty[/tex]
Per prima cosa ho fatto un cambio di variabili, passando in coordinate polari, ottenendo:
[tex]B = {(\rho,\theta) \in \mathbb{R}^2 : \rho \geq 1, \theta \in [0, \frac{\pi}{2}}].[/tex]
[tex]\int_{B}{}{\frac{\arctan(\rho(\cos\theta + \sin\theta))}{\rho^4}}\rho d\rho d\theta[/tex].
Ora, sarei tentata di affermare che l'integrale converge perché al numeratore abbiamo una funzione limitata e [tex]\frac{1}{\rho^4}[/tex] tende a zero più velocemente di [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma è corretto affermarlo in questo caso?
E più in generale, quando ho questo tipo di esercizi in due variabili, ci sono dei particolari "accorgimenti" che potrebbero aiutarmi a trovare la soluzione?
Grazie mille per l'attenzione.
Risposte
Ciao v_96,
Benvenuta sul forum!
Innanzitutto qualche nota sul formalismo:
se $B := \{(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2 \ge 1, x \ge 0, y \ge 0} $
allora passando in coordinate polari
$B' = \Phi^{- 1}(B) = \{(\rho,\theta) \in \RR^2 : \rho \ge 1, \theta \in [0, frac{\pi}{2}]\} $
Quindi si ha:
$\int_{B} \frac{\arctan(x+y)}{(x^2 + y^2)^2} dxdy = \int_{B'} \frac{\arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^4} \rho d\rho d\theta = \int_{B'} \frac{\arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^3} d\rho d\theta $
Osservando che si ha a che fare con quantità tutte positive e che $max_{\theta \in [0, frac{\pi}{2}]}(\cos\theta + \sin\theta) = sqrt{2} $
procederei con la stima seguente:
$ \int_{B'} frac{arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^3} d\rho d\theta \le \int_{B'} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho d\theta = \int_{0}^{\pi/2} d\theta int_{1}^{+\infty} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho = $
$ = \pi/2 int_{1}^{+\infty} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho $[tex]\sim[/tex] $(\pi/2)^2 int_{1}^{+\infty} frac{1}{\rho^3} d\rho $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole
$int_{c}^{+\infty} frac{1}{\rho^{\alpha}} d\rho $
ove $c > 0 $, che converge se $\alpha > 1 $
Benvenuta sul forum!
Innanzitutto qualche nota sul formalismo:
se $B := \{(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2 \ge 1, x \ge 0, y \ge 0} $
allora passando in coordinate polari
$B' = \Phi^{- 1}(B) = \{(\rho,\theta) \in \RR^2 : \rho \ge 1, \theta \in [0, frac{\pi}{2}]\} $
Quindi si ha:
$\int_{B} \frac{\arctan(x+y)}{(x^2 + y^2)^2} dxdy = \int_{B'} \frac{\arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^4} \rho d\rho d\theta = \int_{B'} \frac{\arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^3} d\rho d\theta $
Osservando che si ha a che fare con quantità tutte positive e che $max_{\theta \in [0, frac{\pi}{2}]}(\cos\theta + \sin\theta) = sqrt{2} $
procederei con la stima seguente:
$ \int_{B'} frac{arctan[\rho(\cos\theta + \sin\theta)]}{\rho^3} d\rho d\theta \le \int_{B'} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho d\theta = \int_{0}^{\pi/2} d\theta int_{1}^{+\infty} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho = $
$ = \pi/2 int_{1}^{+\infty} frac{arctan(\sqrt{2}\rho)}{\rho^3} d\rho $[tex]\sim[/tex] $(\pi/2)^2 int_{1}^{+\infty} frac{1}{\rho^3} d\rho $
e l'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole
$int_{c}^{+\infty} frac{1}{\rho^{\alpha}} d\rho $
ove $c > 0 $, che converge se $\alpha > 1 $
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