Convergenza di integrale improprio con logaritmo
Ciao a tutti! Avrei bisogno di un aiuto con la convergenza di un integrale improprio. L'integrale è questo:
Integrale da 0 a 1 di $ f(x)=(log|4x - 1|)/(2x^2 - 3x + 1) $
(scusate, non so scriverla in altro modo)
Io avevo provato a cercare i punti di non definizione di f(x), trovando $ 1/4, 1/2 e 1 $. Stavo iniziando per x che tende ad $ 1/4 $, ma lì non so come fare! Pensavo di fare la sostituzione $ t=1/x $, per poi minorare con $ 1/t^2 $, ma non so se posso farlo, visti gli estremi e visto che è un integrale improprio! Mi potreste aiutare, dicendomi se posso fare come dico e, nel caso non si possa, spiegandomi come dimostrare l'eventuale convergenza?
Grazie mille in anticipo, e scusatemi ancora se non riesco a scrivere in modo corretto le formule matematiche!
Integrale da 0 a 1 di $ f(x)=(log|4x - 1|)/(2x^2 - 3x + 1) $
(scusate, non so scriverla in altro modo)
Io avevo provato a cercare i punti di non definizione di f(x), trovando $ 1/4, 1/2 e 1 $. Stavo iniziando per x che tende ad $ 1/4 $, ma lì non so come fare! Pensavo di fare la sostituzione $ t=1/x $, per poi minorare con $ 1/t^2 $, ma non so se posso farlo, visti gli estremi e visto che è un integrale improprio! Mi potreste aiutare, dicendomi se posso fare come dico e, nel caso non si possa, spiegandomi come dimostrare l'eventuale convergenza?
Grazie mille in anticipo, e scusatemi ancora se non riesco a scrivere in modo corretto le formule matematiche!
Risposte
"Weierstress":
Non devi scusarti, devi solo leggere qui.
Grazie mille! Adesso ho corretto tutto, decisamente molto più leggibile, ahah!
"Giorgeous":
Adesso ho corretto tutto
Beh, proprio tutto tutto non direi, ti manca l'integrale...
Facciamo così, te lo scrivo io poi tu con Pulsante destro del mouse > Show Math As > AsciiMath Input copi e incolli il contenuto della finestra che ti appare fra due simboli di \$.
$ \int_{0}^{1} (log|4x - 1|)/(2x^2 - 3x + 1) dx $
riguardo all'esercizio io farei così:
1. intorno di $1/4$
lavorando sul logaritmo lo scrivo come $log4 + log|x-1/4|$
il primo pezzo non crea problemi e nemmeno il denominatore, quindi dobbiamo mostrare che l'integrale $int_(0)^(1)1/c log|x-1/4|dx = int_(0)^(1)1/c1/ log^(-1)|x-1/4| dx< oo$
ma questo converge per confronto con l'integrale "fondamentale" $int_(0)^(alpha)1/(x^a log^b(x)) dx$ che converge per $a<1 ^^ AAb in RR$ oppure per $a=1 ^^ b>1$
2. intorno di $1/2$
$log|4x-1 +2 -2|= log|1+4(x-1/2)| ~~ |4(x-1/2)| $ per $x->1/2$
quindi l'integrale è asintotico a $ -8int_(0)^(1) |x-1/2|/(x-1/2) dx$ che risulta finito sia che l'argomento del modulo è positivo che negativo (viene sempre l'integrale di $+- 1$ in un intervallo finito)
3. intorno di $1$
l'integrale è asintotico a $2log3 int_(0)^(1)1/(x-1)dx$ che diverge per confronto con l'integrale notevole $int_(a)^(b)1/(x-a)^p dx$ che diverge per $p >= 1$
spero di non aver fatto errori di conto
1. intorno di $1/4$
lavorando sul logaritmo lo scrivo come $log4 + log|x-1/4|$
il primo pezzo non crea problemi e nemmeno il denominatore, quindi dobbiamo mostrare che l'integrale $int_(0)^(1)1/c log|x-1/4|dx = int_(0)^(1)1/c1/ log^(-1)|x-1/4| dx< oo$
ma questo converge per confronto con l'integrale "fondamentale" $int_(0)^(alpha)1/(x^a log^b(x)) dx$ che converge per $a<1 ^^ AAb in RR$ oppure per $a=1 ^^ b>1$
2. intorno di $1/2$
$log|4x-1 +2 -2|= log|1+4(x-1/2)| ~~ |4(x-1/2)| $ per $x->1/2$
quindi l'integrale è asintotico a $ -8int_(0)^(1) |x-1/2|/(x-1/2) dx$ che risulta finito sia che l'argomento del modulo è positivo che negativo (viene sempre l'integrale di $+- 1$ in un intervallo finito)
3. intorno di $1$
l'integrale è asintotico a $2log3 int_(0)^(1)1/(x-1)dx$ che diverge per confronto con l'integrale notevole $int_(a)^(b)1/(x-a)^p dx$ che diverge per $p >= 1$
spero di non aver fatto errori di conto
Okay, ho capito! 
Grazie mille a tutti!
Grazie mille a tutti!
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