Convergenza di integrale

[serafila]

Posso applicare il confronto asintotico a questo integrale:

\[ \int_1^\infty \frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)}dy\ \]

per x--->+inf \[\frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)} \sim \frac{y^2}{(y^a)*y^3} \sim \frac{1}{y^{a+1}} \]
quindi l'integrale converge per a>0?

e se l'integrale è tra 0 e +inf? In 0 la funzione non è continua. Come faccio?

[Noisemaker]

il confronto è ok

non essendo definita in zero, devi considerare il confronto asintotico per $x\to0$

[serafila]

Non lo so fare, come faccio?

[Noisemaker]

ma si che lo sai fare! quando $x\to0$
\begin{align} \frac{y^2+1}{(y^a)\cdot(y^3+y+1)}\sim\frac{1}{ y^a} \end{align}
da cui concludi subito

[serafila]

Quindi in definitiva l'integrale converge per a>1? Ho fatto la stessa domanda qualche giorno fa su yahoo answer e riporto qui sotto come mi è stato risposto:

una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinchè l'integrale converga è che l'integrando f(y) tenda ad annullarsi per y->∞, questo è vero solo se a>-1 . cioè

a≤ -1 => diverge

a questo punto puoi scrivere l'integrale come
.∞ ... ... ... ɛ .... ..... ∞
∫ f(y) dy = ∫ f(y) dy + ∫ f(y) dy
0 .. ... .... 0 ....... ...ɛ

dove ɛ>0 . sia a>-1, il secondo integrale è ovviamente convergente, perciò concentriamoci sul primo. se ɛ è sufficientemente piccolo possiamo sviluppare in serie di taylor la funzione (y^2+1)/(y^3+y+1) ottenendo

.ɛ ....... .... ɛ
∫ f(y) dy = ∫ y^(-a) ( 1+O(y) ) dy
0 ..... ..... 0

allora è chiaro che converge solo se a≤0 . di conseguenza l'integrale iniziale converge sse a ∈ ( -1, 0 ] ciao

che non è la stessa conclusione a cui siamo arrivati noi 2

[Noisemaker]

forse ho capito qual 'è il problema...il fatto che $a\in \RR$ e non in $\RR^+$. allora facciamo ordine;
Cominiciamo con il distinguere i casi:

[*:p7ke2ys6] se $a=0$ l'integrale diviene:
\begin{align}\int_{0}^{+\infty} \frac{y^2+1}{ (y^3+y+1)} \end{align}
da cui considerando che la funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di integrazione, e continua in $0$ possiamo applicare il criterio del confronto asintotico solo a $+\infty$


[*:p7ke2ys6]se $y\to+\infty$
\begin{align} \frac{y^2+1}{ (y^3+y+1)} \sim \frac{y^2 }{ y^3 }= \frac{1}{ y }\to\mbox{non converge}\end{align}[/*:m:p7ke2ys6][/list:u:p7ke2ys6][/*:m:p7ke2ys6]
[*:p7ke2ys6] se $a>0$ l'integrale diviene:
\begin{align}\int_{0}^{+\infty} \frac{y^2+1}{ y^a(y^3+y+1)} \end{align}
in questo caso la funzione integranda non è definita in $y=0$ e dunque in questo caso dobbiamo considerare il comportamento asintotico in entrambi gli estremi:

[*:p7ke2ys6]se $y\to0$
\begin{align} \frac{y^2+1}{ y^a(y^3+y+1)} \sim \frac{1 }{y^a} \to\mbox{ converge se } a<1\end{align}[/*:m:p7ke2ys6]
[*:p7ke2ys6]se $y\to+\infty$
\begin{align} \frac{y^2+1}{ y^a(y^3+y+1)}\sim \frac{y^2 }{y^a\cdot y^3 }= \frac{1}{ y^{a+1} }\to\mbox{converge se } a>0\end{align}[/*:m:p7ke2ys6][/list:u:p7ke2ys6][/*:m:p7ke2ys6]
[*:p7ke2ys6] se $a<0$ l'integrale diviene:
\begin{align}\int_{0}^{+\infty} \frac{y^a (y^2+1)}{ (y^3+y+1)} \end{align}
in questo caso la funzione integranda è definita in $y=0$ e dunque continua in $0;$ possiamo applicare il criterio del confronto asintotico solo a $+\infty$


[*:p7ke2ys6]se $y\to+\infty$
\begin{align} \frac{y^a (y^2+1)}{ (y^3+y+1)} \sim \frac{y^{a+2} }{ y^3 }= \frac{1}{ y^{1-a} }\to\mbox{converge se } a<0\end{align}[/*:m:p7ke2ys6][/list:u:p7ke2ys6][/*:m:p7ke2ys6][/list:u:p7ke2ys6]

[Oiram92]

Non so se ti possa essere utile (io l'ho trovato molto utile), ma ti consiglio di dare un'occhiata a questa mini-dispensa che riassume i criteri ed i confronti da applicare per risolvere gli esercizi sulla convergenza.
Il link è http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/pdf/esercizi8.pdf