Convergenza di $int_1^(+oo)x^(alpha)ln^(beta)x$
Ciao a tutti. Devo trovare per quali $alpha, beta$ l'integrale $int_1^(+oo)x^(alpha)ln^(beta)x$ converge.
Ho ripetuitamente integrato per parti, trovando che (a meno delle costanti): $intx^(alpha)ln^(beta)x=x^(alpha+1)(ln^(beta)x-ln^(beta-1)x+ln^(beta-2)x+...+-lnx+-1)$
E quindi l'integrale converge $<=> alpha<-1 " " beta<0$.
E' vero?? E' una dimostrazione corretta? Il risultato è esatto?
Grazie!!
Ho ripetuitamente integrato per parti, trovando che (a meno delle costanti): $intx^(alpha)ln^(beta)x=x^(alpha+1)(ln^(beta)x-ln^(beta-1)x+ln^(beta-2)x+...+-lnx+-1)$
E quindi l'integrale converge $<=> alpha<-1 " " beta<0$.
E' vero?? E' una dimostrazione corretta? Il risultato è esatto?
Grazie!!
Risposte
Ma se $\beta$ non è intero?
Ehmmmm già è vero hai ragione...
E inoltre ho notato anche un grosso errore: che quell'integrazione per parti non dipende da $alpha$ (anche se bisognerebbe discutere il caso $alpha=-1$), ma dipende totalmente dalla positività di $beta$... ed è corretto solo per $beta>0$, con il quale si giunge alla tesi che converge solo per $beta<0$ cioè mai. Quindi sicuramente per $beta>0$ non converge. Però per $beta$ negativo cambia tutto............. E si complica anche, perchè dovrei calcolare (per parti?) la primitiva di $intx^(alpha)1/(ln^(-beta)x)$... Che si può fare??
E inoltre ho notato anche un grosso errore: che quell'integrazione per parti non dipende da $alpha$ (anche se bisognerebbe discutere il caso $alpha=-1$), ma dipende totalmente dalla positività di $beta$... ed è corretto solo per $beta>0$, con il quale si giunge alla tesi che converge solo per $beta<0$ cioè mai. Quindi sicuramente per $beta>0$ non converge. Però per $beta$ negativo cambia tutto............. E si complica anche, perchè dovrei calcolare (per parti?) la primitiva di $intx^(alpha)1/(ln^(-beta)x)$... Che si può fare??
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