Convergenza di funzione e teorema dei Carabinieri
Buonasera.
Devo dimostrare il limite di una funzione, date due ipotesi di partenza.
Data $ f: (-a,a)\\{0}rarr mathbb(R) $
tale che per ogni x nel dominio di definizione si abbia:
1) $ f(x)>=|x|^alpha $ , con $ alpha in (1/2,1) $
2) $ f(x)f(2x)<=|x| $
Dimostrare che: $ lim_(x -> 0) f(x)=0 $
Ho pensato di usare il Teorema dei Carabinieri, considerando che $ |x|^alpha $ e $ |x| $ tendono a zero per x che tende a zero.
Tuttavia, ho alcuni dubbi formali per giungere a conclusione.
Nel dettaglio, partendo dall'ipotesi (2), verrebbe naturale dividere per $ f(2x) $, ma rischio di cadere in una forma indeterminata ( $ 0/0 $ ), dato che $ f(2x) = f(x) = 0 $ per x che tende a zero, o peggio di rendere falsa la disuguaglianza...
Altrimenti, sempre all'ipotesi (2) potrei seguire il ragionamento che $ f(2x) = f(x) \rArr f(x)^2 $, quindi $ |f(x)| <= |x|^(1/2) $, data la continuità della radice. È corretto usare questo procedimento per la conclusione, dato che $ |f(x)|=f(x)=0 $ ? Oppure è un problema in quanto sto sfruttando la tesi?
Sono più che altro cose formali, ma vorrei evitare scivoloni!
Devo dimostrare il limite di una funzione, date due ipotesi di partenza.
Data $ f: (-a,a)\\{0}rarr mathbb(R) $
tale che per ogni x nel dominio di definizione si abbia:
1) $ f(x)>=|x|^alpha $ , con $ alpha in (1/2,1) $
2) $ f(x)f(2x)<=|x| $
Dimostrare che: $ lim_(x -> 0) f(x)=0 $
Ho pensato di usare il Teorema dei Carabinieri, considerando che $ |x|^alpha $ e $ |x| $ tendono a zero per x che tende a zero.
Tuttavia, ho alcuni dubbi formali per giungere a conclusione.
Nel dettaglio, partendo dall'ipotesi (2), verrebbe naturale dividere per $ f(2x) $, ma rischio di cadere in una forma indeterminata ( $ 0/0 $ ), dato che $ f(2x) = f(x) = 0 $ per x che tende a zero, o peggio di rendere falsa la disuguaglianza...
Altrimenti, sempre all'ipotesi (2) potrei seguire il ragionamento che $ f(2x) = f(x) \rArr f(x)^2 $, quindi $ |f(x)| <= |x|^(1/2) $, data la continuità della radice. È corretto usare questo procedimento per la conclusione, dato che $ |f(x)|=f(x)=0 $ ? Oppure è un problema in quanto sto sfruttando la tesi?
Sono più che altro cose formali, ma vorrei evitare scivoloni!
Risposte
Da 1) deduci nella fattispecie che \( f(x) > 0 \) per ogni \( x \in (-a,a) \setminus \{ 0 \} \) da cui hai \( 1/f(x) \le 1/|x|^\alpha \). 2) (usando 1)) diventa \( f(x) \le |x| / f(2x) \le |x|^{1-\alpha} / 2^\alpha \). Mettendo tutto assieme ottieni \[ |x|^{\alpha} \le f(x) \le \frac{|x|^{1-\alpha}}{2^\alpha}. \] Nota che la disuguaglianza \( |x|^\alpha \le |x|^{1-\alpha} / 2^\alpha \) e' vera per \( \alpha > 1/2 \) (se \(x\) e' piccolo), ma \( \alpha \ge 1 \) non sarebbe sufficiente per concludere che \(f(x) \to 0 \).
Grazie innanzitutto per la risposta esaustiva!
Non avevo considerato che la (1) implica la funzione maggiore o uguale a zero...
Avrei solo due domande, per capire meglio i passaggi:
1) considerando $ f(x)>=0 $ dalla (1) e $ f(x)<=|x|/f(2x)rarr 0 $ dalla (2), non sarebbe sufficiente per concludere?
2) non mi è molto chiaro come siamo giunti a maggiorare con il termine $ |x|^{1-alpha} / 2^alpha $...
Grazie ancora!
Non avevo considerato che la (1) implica la funzione maggiore o uguale a zero...
Avrei solo due domande, per capire meglio i passaggi:
1) considerando $ f(x)>=0 $ dalla (1) e $ f(x)<=|x|/f(2x)rarr 0 $ dalla (2), non sarebbe sufficiente per concludere?
2) non mi è molto chiaro come siamo giunti a maggiorare con il termine $ |x|^{1-alpha} / 2^alpha $...
Grazie ancora!
"ale311":
[...] 1) considerando $ f(x)>=0 $ dalla (1) e $ f(x)<=|x|/f(2x)rarr 0 $ dalla (2), non sarebbe sufficiente per concludere? [...]
No.
"ale311":
[...] 2) non mi è molto chiaro come siamo giunti a maggiorare con il termine $ |x|^{1-\alpha} / 2^\alpha $...
E' letteralmente scritto nel mio post precedente. L'hai letto?
Sì, l'ho letto, mi è tutto chiaro ma non riesco a capire come sia stata usata la (1) nella (2) per ottenere il termine $ |x|^{1-\alpha} / 2^\alpha $...
Scusa, sarà una sciocchezza ma non mi salta all'occhio!
Scusa, sarà una sciocchezza ma non mi salta all'occhio!
[ frac{1}{f(2x)} le frac{1}{2^alpha |x|^alpha} ]
Ah, ok, chiaro! Avevo un dubbio se valesse anche in questo modo.
Grazie mille!
Buona serata.
Grazie mille!
Buona serata.
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