Convergenza di funzione
Ciao a tutti! Vorrei chiedervi una mano riguardo a questo esercizio:
Prima di tutto ho verificato se tale successione converge puntualmente:
$$\lim_{n \to +infty} x^{2nx}$$ trattando x come costante fa zero essendo $x \in [0,1]$.
Se svolgo ora i limiti: $lim_{x \to 0} x^{2nx}$ e $lim_{x \to 1} x^{2nx}$ posso affermare che entrambi fanno $1$, quindi fin qui potrei già affermare che la risposta d non può essere giusta. Infatti per essere corretta quest'ultima avrei dovuto avere che il risultato di tali limiti è $0$.
Dunque procedo calcolando la derivata in $x$ di $f_n$: $$f'_n(x) = e^{2nx \log{x}}(2n \log{x}+2n)$$
Il primo fattore esponenziale è sempre positivo mentre il fattore raccolto nelle parentesi tonde deve essere studiato. Procedo dunque in questo senso: $2n \log{x} +2n > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{e} \approx \frac{1}{3}$
Quindi la la funzione cresce da $\frac{1}{3}$ in poi, mentre prima cala. Sostanzialmente sappiamo che il suo minimo è in $\frac{1}{e}$, quindi una cosa del genere.
Se vado a calcolare $f_n(e^{-1})$:
$$f_n(e^{-1}) = e^{\frac{-2n}{e}}$$
Quindi se ora calcolo $lim_{n \to \infty} e^{\frac{-2n}{e}}$ ottengo $0$.
Quindi in conclusione mi verrebbe da dire che converge puntualmente anche qui. Per tanto è giusto affermare che la funzione $f_n$ converge uniformente in tutti i punti centrali compresi tra $0$ e $1$? In quest'ottica quale sarebbe la risposta giusta? Mi confermate che il modo di affrontare tali esercizi è quello che ho seguito? Naturalmente spero di aver fatto i passaggi giusti.
Vi ringrazio anticipatamente.
Prima di tutto ho verificato se tale successione converge puntualmente:
$$\lim_{n \to +infty} x^{2nx}$$ trattando x come costante fa zero essendo $x \in [0,1]$.
Se svolgo ora i limiti: $lim_{x \to 0} x^{2nx}$ e $lim_{x \to 1} x^{2nx}$ posso affermare che entrambi fanno $1$, quindi fin qui potrei già affermare che la risposta d non può essere giusta. Infatti per essere corretta quest'ultima avrei dovuto avere che il risultato di tali limiti è $0$.
Dunque procedo calcolando la derivata in $x$ di $f_n$: $$f'_n(x) = e^{2nx \log{x}}(2n \log{x}+2n)$$
Il primo fattore esponenziale è sempre positivo mentre il fattore raccolto nelle parentesi tonde deve essere studiato. Procedo dunque in questo senso: $2n \log{x} +2n > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{e} \approx \frac{1}{3}$
Quindi la la funzione cresce da $\frac{1}{3}$ in poi, mentre prima cala. Sostanzialmente sappiamo che il suo minimo è in $\frac{1}{e}$, quindi una cosa del genere.
Se vado a calcolare $f_n(e^{-1})$:
$$f_n(e^{-1}) = e^{\frac{-2n}{e}}$$
Quindi se ora calcolo $lim_{n \to \infty} e^{\frac{-2n}{e}}$ ottengo $0$.
Quindi in conclusione mi verrebbe da dire che converge puntualmente anche qui. Per tanto è giusto affermare che la funzione $f_n$ converge uniformente in tutti i punti centrali compresi tra $0$ e $1$? In quest'ottica quale sarebbe la risposta giusta? Mi confermate che il modo di affrontare tali esercizi è quello che ho seguito? Naturalmente spero di aver fatto i passaggi giusti.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Dunque l'insieme di convergenza puntuale è quello che hai ottenuto, ovvero $x in (0,1]$ e in $x_0=1$ non ho convergenza uniforme perché le $f_n$ sono continue mentre la funzione limite è
$f(x)={(0, if x!=1),(1, if x=1):} x in (0,1]$
che non è continua in $x_0=1$. Non ho controllato gli altri conti perché per capire quale sia la risposta giusta non servono. Ti do un suggerimento: vale questa proprietà
$f_n \to f$ uniformemente in $D \Leftrightarrow f_n$ convergono puntualmente a $f$ in $D$ e uniformemente in $D - {x_0} AAx_0 in D$ ($D$ è il dominio di convergenza puntuale). Ma ${f_n}$ non converge uniformemente a $f$ in $D=(0,1]$ dunque nemmeno in $(0,1)$.... Buon lavoro
$f(x)={(0, if x!=1),(1, if x=1):} x in (0,1]$
che non è continua in $x_0=1$. Non ho controllato gli altri conti perché per capire quale sia la risposta giusta non servono. Ti do un suggerimento: vale questa proprietà
$f_n \to f$ uniformemente in $D \Leftrightarrow f_n$ convergono puntualmente a $f$ in $D$ e uniformemente in $D - {x_0} AAx_0 in D$ ($D$ è il dominio di convergenza puntuale). Ma ${f_n}$ non converge uniformemente a $f$ in $D=(0,1]$ dunque nemmeno in $(0,1)$.... Buon lavoro
Ci provo a pensare su. Intanto grazie per la tempestiva risposta!
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