Convergenza dell'integrale improprio...

[cappellaiomatto1]

salve a tutti,
mi trovo a svolgere questo integrale improprio che mi da problemi:
$ int_(0)^(+oo ) ((ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3)))dx $
ora,da quel che risulta la funzione integranda è definita per $0 a questo punto mi ritrovo due singolarita, in 0 e in 1. Inoltre la funzione è negativa e quindi occorre studiare la assoluta convergenza(che mi sembra che ai fini di calcolo non cambi molto,spero in un consiglio anche per questo...).Quindi studio la convergenza dei due integrali
$ int_(0)^(c ) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ e $ int_(c)^(1) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ con $cin(0,a]$;$0
studiando il primo integrale ho che per x che tende a zero da destra $sin(pix)$ è infinitesima,poi effettuo lo sviluppo di $ln(x)=ln(1+(x-1) \sim(x-1)$

quindi $|(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|sim|((x-1)pix)/x^3|sim(1-x)/x^2$ che si comporta come $ int_(0)^(c ) (1/x)dx$ che diverge!
(ora non so se ho sbagliato qualcosa,se fosse giusto vorrei lo stesso confrontare il resto dell'integrale)

per lo studio di $ int_(c)^(1) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ che ha singolarità in 1,posso scrivere la funzione integranda in questo modo:

$|(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|=|(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt((x-1)(-x^2-x-1)))|$ che per $x->1^+$ è equivalente a $|(pixln(x))/sqrt(x-1)|$

ora pongo $y=x-1$ e studio l'integrale $pi int_(c-1)^(0) |((y+1)ln(y+1))/y^(1/2)|dy $ la cui funzione integranda è asintoticamente equivalente per $y->0$ a $|((y+1)y)/sqrt(y)|=|(y+1)sqrt(y)|$, ma $int_(c-1)^(0)|(y+1)sqrt(y)dy|$ è un integrale definito! quindi converge?

spero qualcuno possa darmi qualche dritta visto che questo esercizio mi ha lasciato piuttosto confuso...

inoltre se non è di troppo peso vorrei chiedere sempre riguardo agli integrali impropri cosa conviene fare nel caso in cui si deve studiare l'andamento a più infinito di un integrale che ha nell'integranda una funzione $tan(x)$,tipo

(1) $int_(c)^(+oo)tan(x^2)/x^(alpha)dx $

il problema è che la tangente ha singolarità ogni volta su $pi/2$ e $-pi/2$ e la cosa va periodicamente all'infinito,quindi anche se un integrale del tipo $int_(-pi/2)^(pi/2)tan(x^2)dx $ convergesse,l'unica speranza è che tale area faccia zero affinché l'integrale (1) converga,è cosi?
già solo per aver letto fin qui vi ringrazio

[cappellaiomatto1]

up!

[cappellaiomatto1]

yuhu

[dissonance]

"cappellaiomatto":salve a tutti,
mi trovo a svolgere questo integrale improprio che mi da problemi:
$ int_(0)^(+oo ) ((ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3)))dx $
ora,da quel che risulta la funzione integranda è definita per $0Mah. Non mi convince tanto, questa cosa. Sarà mica che il testo è sbagliato? Comunque, può essere che sia una convenzione del tuo prof, ma di solito il dominio di integrazione non deve estendersi ove la funzione non è definita, altrimenti tutta la scrittura perde di senso.

Comunque facciamo finta che l'integrale sia esteso a \([0,1]\).

a questo punto mi ritrovo due singolarita, in 0 e in 1. Inoltre la funzione è negativa e quindi occorre studiare la assoluta convergenza(che mi sembra che ai fini di calcolo non cambi molto,spero in un consiglio anche per questo...).

Giusto. Non cambia molto ma qualcosa cambia, specie nell'uso dei teoremi di confronto, quindi meglio mettercelo il valore assoluto.

Quindi studio la convergenza dei due integrali
$ int_(0)^(c ) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ e $ int_(c)^(1) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ con $cin(0,a]$;$0

Va bene.

studiando il primo integrale ho che per x che tende a zero da destra $sin(pix)$ è infinitesima,poi effettuo lo sviluppo di $ln(x)=ln(1+(x-1) \sim(x-1)$

Aaargh!!! Che cos'è quello sviluppo del logaritmo? Guarda, ti accorgi subito di quanto sia clamorosamente sbagliato:

\[\lim_{ x\to 0^+}\log(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0^{+}}(x-1)=-1.\]

Secondo il tuo sviluppo sarebbe \(-\infty=-1\).

[cappellaiomatto1]

"dissonance":[quote="cappellaiomatto"]salve a tutti,
mi trovo a svolgere questo integrale improprio che mi da problemi:
$ int_(0)^(+oo ) ((ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3)))dx $
ora,da quel che risulta la funzione integranda è definita per $0Mah. Non mi convince tanto, questa cosa. Sarà mica che il testo è sbagliato? Comunque, può essere che sia una convenzione del tuo prof[/quote]

...dici la convenzione di mettere a disagio la gente?

"dissonance":[quote="cappellaiomatto"]

studiando il primo integrale ho che per x che tende a zero da destra $sin(pix)$ è infinitesima,poi effettuo lo sviluppo di $ln(x)=ln(1+(x-1) \sim(x-1)$

Aaargh!!! Che cos'è quello sviluppo del logaritmo? Guarda, ti accorgi subito di quanto sia clamorosamente sbagliato:

\[\lim_{ x\to 0^+}\log(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0^{+}}(x-1)=-1.\]

Secondo il tuo sviluppo sarebbe \(-\infty=-1\).

[/quote]

e certo...vado in palla quando il logaritmo non si può sviluppare in un intorno di zero e non esistono maggiorazioni,perchè è vero che non si può sviluppare no?
devo pensarci su

[dissonance]

E no che non si può sviluppare, il logaritmo in \(0\) non è proprio definito. Però non ti fare abbindolare da quel logaritmo. Ricordati che il logaritmo, come dice un professore di Fisica, è "una costante che tende ad infinito": si, per \(x \to 0^+\) esso tende a \(-\infty\), ma lo fa così lentamente che qualsiasi infinitesimo di ordine polinomiale lo frega. Quindi preoccupatene dopo. Adesso vedi cosa fanno gli altri termini.

[cappellaiomatto1]

forse il ragionamento è un po' affrettato ma a questo punto direi che l'integrale $ int_(0)^(c ) |(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|dx $ diverge,perché la funzione $|(ln(x)*sin(pix))/(x^3sqrt(1-x^3))|$ in un intorno di zero è asintoticamente equivalente a $|ln(x)/(x^3sqrt(1-x^3))|$,calcolo in zero quello che posso calcolare e mi risulta $|(ln(x))/x^3|=1/(|ln(x)|^(-1)|x^3|)$.

essendo che l'integrale $ int_(0)^(a )1/(|ln(x)|^(\beta)|x^(alpha)|) dx $ diverge per $alpha>1$ e per ogni $beta$
e $0

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[dissonance]

Ma no! E il seno che fine ha fatto? Non lo puoi trascurare così, perché tende a \(0\) e compensa in parte il carattere divergente del denominatore. E poi perché ti stai portando appresso \(\sqrt{1-x^3}\)? Lontano da \(1\) questa funzione non ti dà nessun fastidio.

Riassumendo, va bene fare una analisi asintotica della funzione integranda. Ma lo devi fare con tutti i crismi. Riprova.

[cappellaiomatto1]

allora sono un cretangolo e ho pensato a $sin(pix)$ per $x->1$ e ho fatto confusione,dunque

siamo in un intorno di zero,quindi

$sin(pix)=pix+o(x)$

"dissonance": E poi perché ti stai portando appresso \(\sqrt{1-x^3}\)? Lontano da \(1\) questa funzione non ti dà nessun fastidio.

infatti lo scartata alla fine no? fino a quando non arrivo a 1 posso calcolare l'area di \(\sqrt{1-x^3}\),quindi al denominatore ho lasciato solo $x^3$

ora con la rettifica dello sviluppo del seno dovrei avere che la funzione integranda è equivalente a $(pixln(x))/x^3$ dunque risulta l'integrale improprio $piint_0^(c)(ln(x)/x^2)dx$ che diverge sempre per lo stesso criterio

ora se non va neanche così non è giornata

[dissonance]

Si, stavolta mi ritrovo col tuo risultato. Solo una cosa:

"cappellaiomatto":infatti lo scartata alla fine no? fino a quando non arrivo a 1 posso calcolare l'area di $\sqrt{1-x^3}$,quindi al denominatore ho lasciato solo $x^3$

A parte la correzione ortografica, ma che cosa vuoi dire? Quella radice quadrata, intorno a \(x=0\), è \(1+o(x)\) [size=95](*)[/size], che cosa c'entra \(x^3\)?

_____________
(*) E si potrebbe essere anche molto più precisi con poco sforzo: usando lo sviluppo binomiale

\[\sqrt{1-x^3}=1-\frac{1}{2}x^3+o(x^5).\]

Ma direi che ci possiamo accontentare di quello che abbiamo scritto sopra.

[cappellaiomatto1]

"dissonance":Si, stavolta mi ritrovo col tuo risultato. Solo una cosa:
[quote="cappellaiomatto"]infatti lo scartata alla fine no? fino a quando non arrivo a 1 posso calcolare l'area di $\sqrt{1-x^3}$,quindi al denominatore ho lasciato solo $x^3$

A parte la correzione ortografica, ma che cosa vuoi dire? Quella radice quadrata, intorno a \(x=0\), è \(1+o(x)\) [size=95](*)[/size], che cosa c'entra \(x^3\)?

[/quote]

niente,era il prodotto del primo termine che dopo aver verificato l'equivalenza asintotica della funzione sarebbe rimasto al denominatore...
perché ?

p.s. be per quell'errore forse è meglio che mi segno a lettere

[cappellaiomatto1]

"dissonance":
(*) E si potrebbe essere anche molto più precisi con poco sforzo: usando lo sviluppo binomiale

\[\sqrt{1-x^3}=1-\frac{1}{2}x^3+o(x^5).\]

Ma direi che ci possiamo accontentare di quello che abbiamo scritto sopra.

in teoria siccome stiamo parlando di un limite (quale è l'integrale improprio),quando si fa un calcolo di un limite in teoria non si potrebbe mandare a limite delle espressioni e calcolare il valore in $f(x)$ in un altro passaggio vero? (sperando di essermi spiegato correttamente)

[dissonance]

No, non ho capito che cosa hai detto e, anzi, secondo me quello che hai detto non ha senso. Adesso non stai calcolando un limite. Stai considerando una versione più semplice della funzione integranda, ad essa asintoticamente equivalente per \(x\to 0\), e di cui sai dire se l'integrale improprio converge o no.

Comunque, il risultato è giusto. Non incasinare le cose più del necessario.

[cappellaiomatto1]

va bene non insisto più di tanto...

invece per quanto riguarda il carattere a infinito di $tan(x)$ si puo' dire qualcosa?

se ho un integrale del tipo $int_a^(infty)((1+tan(x^2))^(1/4)-1)/x^alpha dx$ sarà sempre divergente?