Convergenza dell'integrale

[Sk_Anonymous]

stabilire gli $alpha in RR$ per i quali il seguente integrale risulta convergente

$int_0^1(tan^alphax)/(ln(1+sinx))dx

per $x->0^+
$f(x)=(tan^alphax)/(ln(1+sinx))=(x^alpha(1+o(1)))/(x(1+o(1)))=x^(alpha-1)(1+o(1))

cosa devo richiedere per la convergenza dell'integrale?

[Sk_Anonymous]

che $int_0 ^1 x^(alpha-1) dx$ converga ovvero che $int_0 ^1 x^(alpha-1) dx = 1^alpha /alpha - 0^alpha /alpha $ sia convergente, cosa che succede solo se $alpha >0$

[fireball1]

Per la convergenza per $x->0^+$
va bene ogni valore di $alpha$ tale che
$alpha-1>=0$, dato che per tali valori
hai che $x^(alpha-1)$ è un infinitesimo per $x->0^+$ ($alpha>1$),
in particolare una costante (=1) per $alpha=1$.

Se $alpha-1<0$ invece bisogna porre una condizione
sull'ordine di infinito per $x->0^+$, ovvero, l'ordine
di infinito dev'essere < 1 quando $x->0^+$.
Sotto l'ipotesi $alpha-1<0$, riscrivi come $1/x^(1-alpha)$,
che è evidentemente un infinito per $x->0^+$; questo infinito
dev'essere di ordine < 1 affinché si abbia convergenza di un integrale
del tipo $int_0^epsilon f(x) dx$ [1] dove $f(x)$ è l'integranda originaria.
Dunque $1-alpha<1<=>alpha>0$.

Mettendo insieme tutte queste informazioni si può allora concludere
che un integrale della forma [1] converge se e solo se $alpha>0$.

Adesso bisogna esaminare l'integrabilità in un intorno sinistro di 1,
ma x=1 non è un punto tanto patologico per quell'integranda, non ti pare?