Convergenza delle serie
Ciao a tutti,
Rieccomi subito con due nuove serie.
Scusatemi se posto due esercizi senza nemmeno un passaggio, ma ci sto sbattendo la testa da un po' e non riesco a capire da dove partire.
Bisogna verificare per quale valore di $x$ convergono:
1)
$\sum_{n=0}^\infty \frac{\sqrt{1+x^n}}{x^n}$
2)
$\sum_{n=0^\infty \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n} \cdot x^{2n+1}$
Il risultato della prima e' $x>1$
Mentre quello della seconda e' $|x|<\frac{2}{\sqrt{3}}$
L'unica cosa che ho capito e' che la seconda per $x < 0$ e' a termini di segno alterno, ma per applicare Leibniz dovrei trovare la $x$ che manda il termine ennesimo a 0.
Grazie a tutti anticipatamente
Rieccomi subito con due nuove serie.
Scusatemi se posto due esercizi senza nemmeno un passaggio, ma ci sto sbattendo la testa da un po' e non riesco a capire da dove partire.
Bisogna verificare per quale valore di $x$ convergono:
1)
$\sum_{n=0}^\infty \frac{\sqrt{1+x^n}}{x^n}$
2)
$\sum_{n=0^\infty \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n} \cdot x^{2n+1}$
Il risultato della prima e' $x>1$
Mentre quello della seconda e' $|x|<\frac{2}{\sqrt{3}}$
L'unica cosa che ho capito e' che la seconda per $x < 0$ e' a termini di segno alterno, ma per applicare Leibniz dovrei trovare la $x$ che manda il termine ennesimo a 0.
Grazie a tutti anticipatamente
Risposte
E una tua opinione sull'alto thread?
"Fioravante Patrone":
E una tua opinione sull'alto thread?
Si' hai ragione scusa, Questa mattina ho postato anche sull'altro thread.
Ora voglio chiedervi una cosa.
per la prima e' corretto ragionare sul fatto che al denominatore ho una serie geometrica, divergente per x>=1 e che quindi
$1/x^2$ converge?
Cosa posso dire pero' del numeratore $\sqrt{1+x^n}$?
Qualcuno puo' aiutarmi?
Inizio con la seconda:
osserviamo per x>0 la serie è a termini non negativi, per x<0 è a termini negativi, ciò lo si deduce dall'esponente dispari di x.
Qualche caso patologico:
per x=0, si ha una successione di addendi tutti nulli, da cui la convergenza;
per x=1, si ha una serie asintotica alla geometrica di ragione 3/4, da cui la convergenza.
Studiamone adesso la convergenza assoluta attraverso il criterio della radice:
il risultato del limite sarà $3/4 x^2$, che per convergere questo deve essere minore di 1, quindi la serie converge assolutamente per $x inn ]-2/sqrt3, 2/sqrt3[$.
Per x>2/sqrt3, la serie diverge positivamente.
Per x=2/sqrt3, il limite del termine generale è diverso da zero, da cui la divergenza a più infinito.
Per x= - 2/sqrt3, la serie diverge negativamente e questo si intuisce calcolando il limite del termine noto.
Per x<-2/sqrt3, ci ho pensato un po': volendo, il termine generale si potrebbe riscrivere come:
$a_n=-1*(3/4)^n*|x|^(2n+1)$, che a meno della costante moltiplicativa negativa è la serie dapprima studiata....
Aspetto il supervisore
Per la prima serie, ti dico che devi riflettere su quali x puoi prendere in considerazione... poiché hai una frazione, e una radice quadrata...
osserviamo per x>0 la serie è a termini non negativi, per x<0 è a termini negativi, ciò lo si deduce dall'esponente dispari di x.
Qualche caso patologico:
per x=0, si ha una successione di addendi tutti nulli, da cui la convergenza;
per x=1, si ha una serie asintotica alla geometrica di ragione 3/4, da cui la convergenza.
Studiamone adesso la convergenza assoluta attraverso il criterio della radice:
il risultato del limite sarà $3/4 x^2$, che per convergere questo deve essere minore di 1, quindi la serie converge assolutamente per $x inn ]-2/sqrt3, 2/sqrt3[$.
Per x>2/sqrt3, la serie diverge positivamente.
Per x=2/sqrt3, il limite del termine generale è diverso da zero, da cui la divergenza a più infinito.
Per x= - 2/sqrt3, la serie diverge negativamente e questo si intuisce calcolando il limite del termine noto.
Per x<-2/sqrt3, ci ho pensato un po': volendo, il termine generale si potrebbe riscrivere come:
$a_n=-1*(3/4)^n*|x|^(2n+1)$, che a meno della costante moltiplicativa negativa è la serie dapprima studiata....
Aspetto il supervisore
Per la prima serie, ti dico che devi riflettere su quali x puoi prendere in considerazione... poiché hai una frazione, e una radice quadrata...
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