Convergenza delle norme implica convergenza forte
ciao a tutti! É la prima volta che scrivo quindi spero di aver messo il messaggio nella sezione giusta. Avrei qualche problema nel risolvere il terzo punto del seguente esercizio:
Sia $ H $ spazio di Hilbert.
1) sia $ {a_n} $ una successione di elementi di $ H $ e $ x\in H $ tale che \( a_n \rightharpoonup x \) in $ H $ (convergenza debole) e tale che \( \| a_n\| _H\rightarrow \| x\| _H \) . Mostrare allora che \( a_n\rightarrow x \) (convergenza forte in $H$).
(Per convergenza debole intendo che per ogni applicazione lineare continua \( L:H \longrightarrow \mathbb{R} \) allora \( L(a_n)\longrightarrow L(a) \) )
2) sia $C$ un sottoinsieme convesso, chiuso e non vuoto. Mostrare che allora esiste un unico elemento $u \in C$ di norma minimale.
3)sia \( \{w_n\}_{n\in N} \) una successione di elementi di $C$ tale che \( \| w_n\| _H\rightarrow \| u\| _H \). Mostrare che \( w_n\rightarrow u \) fortemente in $H$
Grazie mille in anticipo!
Sia $ H $ spazio di Hilbert.
1) sia $ {a_n} $ una successione di elementi di $ H $ e $ x\in H $ tale che \( a_n \rightharpoonup x \) in $ H $ (convergenza debole) e tale che \( \| a_n\| _H\rightarrow \| x\| _H \) . Mostrare allora che \( a_n\rightarrow x \) (convergenza forte in $H$).
(Per convergenza debole intendo che per ogni applicazione lineare continua \( L:H \longrightarrow \mathbb{R} \) allora \( L(a_n)\longrightarrow L(a) \) )
2) sia $C$ un sottoinsieme convesso, chiuso e non vuoto. Mostrare che allora esiste un unico elemento $u \in C$ di norma minimale.
3)sia \( \{w_n\}_{n\in N} \) una successione di elementi di $C$ tale che \( \| w_n\| _H\rightarrow \| u\| _H \). Mostrare che \( w_n\rightarrow u \) fortemente in $H$
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Comincia a scrivere quello che hai fatto. Attento inoltre agli errori di battitura, controlla bene la traccia, c'è qualcosa che non va.
Si, scusa hai ragione! Ho sbagliato a scrivere l'ultima cosa da dimostrare..penso che il resto sia giusto. Cmq per il primo punto ho fatto così
1) se indico con \( (\cdot,\cdot)_H \)il prodotto scalare allora ho che per ogni $y\in H$ $(y,a_n)_H\to (y,x)_H$ per ipotesi di convergenza debole e quindi se svolgo
\(\| a_n-x\| _H^2=(a_n-x,a_n-x)_H=\| a_n\| ^2+\| x\| ^2-2(x,a_n)_H \)
portando al limite per $n\to \infty$ ottengo
\( lim \| a_n-x\| _H^2=2\| x\| ^2-2(x,x)_H=0 \)
1) se indico con \( (\cdot,\cdot)_H \)il prodotto scalare allora ho che per ogni $y\in H$ $(y,a_n)_H\to (y,x)_H$ per ipotesi di convergenza debole e quindi se svolgo
\(\| a_n-x\| _H^2=(a_n-x,a_n-x)_H=\| a_n\| ^2+\| x\| ^2-2(x,a_n)_H \)
portando al limite per $n\to \infty$ ottengo
\( lim \| a_n-x\| _H^2=2\| x\| ^2-2(x,x)_H=0 \)
2) per il secondo punto utilizzo il fatto che $H$ è di Hilbert e che quindi posso proiettare sugli insiemi convessi chiusi, in maniera unica, qualsiasi punto di $H$. Cioè se $C$ convesso chiuso di $H$ e $x \in H$ allora si ha che esiste un unico elemento $P(x) \in C$, tale che \( \inf_{y \in C} \| x-y\|= \| x-P(x)\| \). Per concludere applicherei quanto scritto ad $x=0$ ottenendo così un unico punto $u=P(0)$ di norma minimale
3) per il terzo punto io ho cominciato dicendo che dato che $ \||w_n \||_H$ $\to \||u \||_H$ si ha che la successione $w_n$ è limitata e dato che $H$ è uno spazio riflessivo allora la successione ammette una sottosuccessione che converge debolmente $w_{n_k} \to w$ con $w\in C$ perché chiuso. Adesso vorrei applicare il punto 1 però non saprei né come dimostrare che $w=u$ né come dire che in realtà è tutta la successione che converge...cioè dovrei dire che la successione non ha altri punti di aderenza deboli però nn vedo il modo.
Allora, intanto ti sei scordato, nella traccia, di specificare che \(w_n\) converge debolmente ad \(u\). In ogni modo la dimostrazione è molto più semplice di come pensi. Tu vuoi dimostrare che \(\lVert w_n - u \rVert \to 0\). Ma vale lo stesso se dimostri che \( \lVert w_n -u \rVert^2\to 0\), chiaramente. Prova a sviluppare il quadrato.
Il fatto che negli spazi di Hilbert si possa sviluppare il quadrato sembra una fesseria, e invece praticamente tutta la teoria di base si fonda su di esso. Gli spazi di Banach sono molto più complicati precisamente perché sviluppare il quadrato non si puo'.
Il fatto che negli spazi di Hilbert si possa sviluppare il quadrato sembra una fesseria, e invece praticamente tutta la teoria di base si fonda su di esso. Gli spazi di Banach sono molto più complicati precisamente perché sviluppare il quadrato non si puo'.
nella traccia non dice che \( w_n \rightharpoonup u \) , perché infatti se questo valesse sarebbe la stessa richiesta del punto 1) che ho risolto come suggerivi tu. Però alla fine riesco a dimostrare che \( w_n \rightharpoonup u \) dicendo che dato che la norma è una funzione debolmente semi-continua inferiormente allora ho: (continuo da quanto già scritto da me per il punto 3)
\( w_{n_k}\rightharpoonup w \Rightarrow \| w\| \leq \liminf \| w_{n_k}\| = \lim \| w_{n_k}\| =\| u\| \)
Inoltre dal punto 2 ottengo che dato che $w$ è dentro $C$ allora la sua norma è minorata da quella di $u$
\( \| u\| \leq \| w\| \)
e quindi \( \| u\| = \| w\| \) , ma dato che $u$ era l'unico punto di norma minimale di $C$ (punto 2) allora $w=u$. Quindi così dimostro anche che $u$ è l'unico punto di aderenza debole per la successione $w_n$ (perché ottengo sempre che devono essere uguali a $u$) e quindi posso dire che in realtà è tutta la successione, e non solamente la successione particolare che avevo trovato, a convergere debolmente verso $u$ (questo lo posso dire perché la successione $w_n$ è limitata). Così ottengo finalmente che \( w_{n}\rightharpoonup w \) e quindi posso applicare il punto 1. Penso che il ragionamento adesso vada bene però se pensi ci sia qualcosa di sbagliato fammi sapere ! Grazie cmq per la risposta!
\( w_{n_k}\rightharpoonup w \Rightarrow \| w\| \leq \liminf \| w_{n_k}\| = \lim \| w_{n_k}\| =\| u\| \)
Inoltre dal punto 2 ottengo che dato che $w$ è dentro $C$ allora la sua norma è minorata da quella di $u$
\( \| u\| \leq \| w\| \)
e quindi \( \| u\| = \| w\| \) , ma dato che $u$ era l'unico punto di norma minimale di $C$ (punto 2) allora $w=u$. Quindi così dimostro anche che $u$ è l'unico punto di aderenza debole per la successione $w_n$ (perché ottengo sempre che devono essere uguali a $u$) e quindi posso dire che in realtà è tutta la successione, e non solamente la successione particolare che avevo trovato, a convergere debolmente verso $u$ (questo lo posso dire perché la successione $w_n$ è limitata). Così ottengo finalmente che \( w_{n}\rightharpoonup w \) e quindi posso applicare il punto 1. Penso che il ragionamento adesso vada bene però se pensi ci sia qualcosa di sbagliato fammi sapere ! Grazie cmq per la risposta!
Aaaaaahnnnn... E' un unico esercizio in tre punti, non tre esercizi indipendenti. 
Allora si, hai ragione, non è così fesso come lo avevo pensato io, scusami.
A una rapida occhiata il tuo ragionamento mi pare giusto e ben fatto, più tardi se ci riesco lo controllo meglio.
Allora si, hai ragione, non è così fesso come lo avevo pensato io, scusami.
A una rapida occhiata il tuo ragionamento mi pare giusto e ben fatto, più tardi se ci riesco lo controllo meglio.
Ho ricontrollato, è giusto.
grazie mille dissonance! =)
Mi permetto di aggiungere una piccola variante al primo punto di questo esercizio, anziché aprire un new topic:
La mia variante è la seguente:
Sia $ {a_n} $ una successione di elementi di $ C $ sottoinsieme convesso chiuso dello spazio di Hilbert \(\displaystyle H \) e $ x\in H $ tale che \( a_n \rightharpoonup x \) in $ H $ (convergenza debole) e tale che \( \| a_n\| _H \leq \| x\| _H \ \ \forall n \geq 1\) . Mostrare allora che \( a_n\rightarrow x \) (convergenza forte in $H$).
Svolgimento.
Usando il fatto che la norma è debolmente semicontinua inferiormente, cioè che \(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H \geq \|x\|_H \),
riesco a far vedere, grazie alla disuguaglianza fornita dal testo (che implica che \(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H \leq \|x\|_H \) ), che:
\(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H = \|x\|_H \).
A questo punto allora l'unica cosa che riesco a dire, sviluppando - come fatto da @johnhappy sul suo punto 1) - la norma nel prodotto scalare, è che:
\(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n - x \|_{H}^{2} = liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n - x, a_n - x)_{H} = liminf_{n \rightarrow \infty} ( \|a_n\|_{H}^{2} - 2 (x, a_n)_{H} + \|x\|_{H}^{2} ) = 0 \)
Ma per passare dal liminf al limite, come faccio?
In altre parole: ho trovato che esiste una sottosuccessione \(\displaystyle a_{n_{j}} \) che converge fortemente a \(\displaystyle x \) (questo viene dall'applicare il risultato 1) alla sottosuccessione \(\displaystyle a_{n_j} \) che realizza il \(\displaystyle liminf \)). Come faccio a dire che è tutta la successione \(\displaystyle a_n \) che converge fortemente a \(\displaystyle x \)?
Grazie in anticipo per l'attenzione,
ciao
"johnhappy":
1) sia $ {a_n} $ una successione di elementi di $ H $ e $ x\in H $ tale che \( a_n \rightharpoonup x \) in $ H $ (convergenza debole) e tale che \( \| a_n\| _H\rightarrow \| x\| _H \) . Mostrare allora che \( a_n\rightarrow x \) (convergenza forte in $H$).
(Per convergenza debole intendo che per ogni applicazione lineare continua \( L:H \longrightarrow \mathbb{R} \) allora \( L(a_n)\longrightarrow L(a) \) )
La mia variante è la seguente:
Sia $ {a_n} $ una successione di elementi di $ C $ sottoinsieme convesso chiuso dello spazio di Hilbert \(\displaystyle H \) e $ x\in H $ tale che \( a_n \rightharpoonup x \) in $ H $ (convergenza debole) e tale che \( \| a_n\| _H \leq \| x\| _H \ \ \forall n \geq 1\) . Mostrare allora che \( a_n\rightarrow x \) (convergenza forte in $H$).
Svolgimento.
Usando il fatto che la norma è debolmente semicontinua inferiormente, cioè che \(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H \geq \|x\|_H \),
riesco a far vedere, grazie alla disuguaglianza fornita dal testo (che implica che \(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H \leq \|x\|_H \) ), che:
\(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n \|_H = \|x\|_H \).
A questo punto allora l'unica cosa che riesco a dire, sviluppando - come fatto da @johnhappy sul suo punto 1) - la norma nel prodotto scalare, è che:
\(\displaystyle liminf_{n \rightarrow \infty} \| a_n - x \|_{H}^{2} = liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n - x, a_n - x)_{H} = liminf_{n \rightarrow \infty} ( \|a_n\|_{H}^{2} - 2 (x, a_n)_{H} + \|x\|_{H}^{2} ) = 0 \)
Ma per passare dal liminf al limite, come faccio?
In altre parole: ho trovato che esiste una sottosuccessione \(\displaystyle a_{n_{j}} \) che converge fortemente a \(\displaystyle x \) (questo viene dall'applicare il risultato 1) alla sottosuccessione \(\displaystyle a_{n_j} \) che realizza il \(\displaystyle liminf \)). Come faccio a dire che è tutta la successione \(\displaystyle a_n \) che converge fortemente a \(\displaystyle x \)?
Grazie in anticipo per l'attenzione,
ciao
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