Convergenza della successione e serie associata

[laska1]

Buongiorno,

Sono alle prese con questo esercizio

Si studi la convergenza della successione definita da:

$\{a_0=2, a_(n+1)=sqrt((a_n)^2/2+1)}$

e della serie: $\sum_{n=0}^oo (a_n)^(-n)$

Ho svolto la prima parte dell'esercizio e ho trovato che la successione $a_n$ è decrescente e limitata, con limite reale $sqrt(2)$.
Ho difficoltà nel comprendere la serie...Cioè io so che $\sum_{n=0}^oo (a_n)^(-n)=sum_{n=0}^oo 1/((a_n)^(n))$ che mi fa pensare ad una serie armonica generalizzata che converge se e solo se $n>1$...Però poi non so come muovermi, a cosa mi serve lo studio della successione per lo studio della serie? Penso che quello devo sfruttare è il limite della successione...

[Ziben]

Ciao,
la conscenza del limite della successione ${a_n}$ e il suo studio sono importanti. Ti permettono di applicare con agilità il criterio della radice per stabilire la convergenza della serie $sum_(n=0)^(oo)(a_n)^(-n)$, criterio applicabile perché hai già stabilito in precedenza che ${a_n}$ è a termini non negativi.

[laska1]

Ho capito! Ti ringrazio tanto!

[DajeForte]

Se vuoi puoi usare il criterio del confronto.

[laska1]

Ho risolto...Quello della radice anche va benissimo.
Vi ringrazio per le risposte!