Convergenza della serie e della somma parziale
Salve a tutti,
nel mezzo di una dimostrazione di un teorema ( precisamente il teorema di unicità e esistenza del problema di Cauchy) c'è un punto in cui si dimostra che una serie $ \sum_(h=0)^(+ infty) y_h(t) - y_(h-1) (t) $ converge totalmente e quindi uniformemente.
Quello che non comprendo è perchè questa informazione mi porta a dire che la successione $ y_(h)(t)=y_0 + s_n$ con $s_n $ la somma parziale della serie ( cioè$\sum_(h=0)^ n y_h(t) - y_(h-1) (t)$) è anch'essa convergente uniformemente.
nel mezzo di una dimostrazione di un teorema ( precisamente il teorema di unicità e esistenza del problema di Cauchy) c'è un punto in cui si dimostra che una serie $ \sum_(h=0)^(+ infty) y_h(t) - y_(h-1) (t) $ converge totalmente e quindi uniformemente.
Quello che non comprendo è perchè questa informazione mi porta a dire che la successione $ y_(h)(t)=y_0 + s_n$ con $s_n $ la somma parziale della serie ( cioè$\sum_(h=0)^ n y_h(t) - y_(h-1) (t)$) è anch'essa convergente uniformemente.
Risposte
La serie che costruisci è telescopica e si vede immediatamente che:
\[
\begin{split}
S_n(x) &:=\sum_{h=1}^n y_h(x)-y_{h-1}(x) \\
&= \cancel{y_1(x)}-y_0(x) + \cancel{y_2(x)}-\cancel{y_1(x)}+\cancel{y_3(x)}-\cancel{y_2(x)}+\cdots+\cancel{y_{n-1}(x)}-\cancel{y_{n-2}(x)}+y_n(x)-\cancel{y_{n-1}(x)} \\
&= y_n(x)-y_0(x)
\end{split}
\]
da cui:
\[
y_n(x) = y_0(x) + S_n(x)=y_0 +S_n(x)\; ,
\]
perché immagino \(y_0(x)=y_0\).
Dato che la serie converge uniformemente, per definizione è la successione delle ridotte \((S_n)\) a convergere uniformemente, perciò \((y_n)\) converge uniformemente.
\[
\begin{split}
S_n(x) &:=\sum_{h=1}^n y_h(x)-y_{h-1}(x) \\
&= \cancel{y_1(x)}-y_0(x) + \cancel{y_2(x)}-\cancel{y_1(x)}+\cancel{y_3(x)}-\cancel{y_2(x)}+\cdots+\cancel{y_{n-1}(x)}-\cancel{y_{n-2}(x)}+y_n(x)-\cancel{y_{n-1}(x)} \\
&= y_n(x)-y_0(x)
\end{split}
\]
da cui:
\[
y_n(x) = y_0(x) + S_n(x)=y_0 +S_n(x)\; ,
\]
perché immagino \(y_0(x)=y_0\).
Dato che la serie converge uniformemente, per definizione è la successione delle ridotte \((S_n)\) a convergere uniformemente, perciò \((y_n)\) converge uniformemente.
grazie!ne approfitto per chiedere un dubbio che deriva sempre dalla dimostrazione di questo teorema.
Alla fine della dimostrazione ottengo che esiste una soluzione $y$ tc ${y'= f(x,y),y(x0)=y0 $.
Mi serve però che il grafico di $y$ sia contenuto in un compatto della funzione $f$ supponiamo $D$ ( che esiste perchè $f$ è definita su un aperto) allora ho ragionato così: poichè $f$ è anche continua in $D$ (per ipotesi) esiste massimo su $D$ di $f$ cioè esiste $M = max_D f$ e poichè $y$ soluzione del PDC ( $y'=f$)ho che $y'$ avrà valore massimo in $M$ e quindi da questo ho che il punto max di $y$ sarà in $D$ ( e quindi tutto il graf y contenuto in D).
Può andare bene come ragionamento?
Alla fine della dimostrazione ottengo che esiste una soluzione $y$ tc ${y'= f(x,y),y(x0)=y0 $.
Mi serve però che il grafico di $y$ sia contenuto in un compatto della funzione $f$ supponiamo $D$ ( che esiste perchè $f$ è definita su un aperto) allora ho ragionato così: poichè $f$ è anche continua in $D$ (per ipotesi) esiste massimo su $D$ di $f$ cioè esiste $M = max_D f$ e poichè $y$ soluzione del PDC ( $y'=f$)ho che $y'$ avrà valore massimo in $M$ e quindi da questo ho che il punto max di $y$ sarà in $D$ ( e quindi tutto il graf y contenuto in D).
Può andare bene come ragionamento?
Il grafico della soluzione locale \(y(x)\) sta in \(D\) per costruzione, quindi non c'è bisogno di fare considerazioni "strane".
Cosa intendi " per costruzione"? vuoi dire perchè tutta la successione $y_n$ stanno in $D$?
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