Convergenza della serie
Ho provato a risolvere questo esercizio in qualche modo ma non ho capito molto bene, l'esercizio è:
Al variare del parametro reale $a$ discutere la convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(nsen((2n+1)pi/2)$.
Io per prima cosa ho osservato quel $sen((2n+1)pi/2)$, che per $n$ dispari vale $-1$ e per $n$ pari vale $1$, quindi oscilla.
Quindi per $n$ pari la serie diventa $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(n) = n^a e^((1/(2n+1))logn) = n^a 1 $,
mentre per $n$ dispari diventa $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(-n) = n^a e^((1/(2n+1))log-n) = n^a 1 $
Quindi per $a>1$ la serie converge e dovrebbe convergere anche assolutamente...
grazie per l'aiuto
Al variare del parametro reale $a$ discutere la convergenza della serie $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(nsen((2n+1)pi/2)$.
Io per prima cosa ho osservato quel $sen((2n+1)pi/2)$, che per $n$ dispari vale $-1$ e per $n$ pari vale $1$, quindi oscilla.
Quindi per $n$ pari la serie diventa $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(n) = n^a e^((1/(2n+1))logn) = n^a 1 $,
mentre per $n$ dispari diventa $\sum_{n=1}^oo n^a root(2n+1)(-n) = n^a e^((1/(2n+1))log-n) = n^a 1 $
Quindi per $a>1$ la serie converge e dovrebbe convergere anche assolutamente...
grazie per l'aiuto
Risposte
Occhio che $n$ è un naturale, quindi $\sqrt{-n}$ non ha senso (tantomeno $\ln(-n)$), inoltre cosa è successo in questo passaggio che ti sto per citare
Perché l'esponente è diventato $1$?
Inoltre $\sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha}$ converge per $\alpha<-1$; quindi attenzione ai confronti con la serie armonica generalizzata.
Sui pari potresti notare che $n^{\alpha} \root{2n+1}n=n^{\alpha +\frac{1}{2n+1}}$.
Edit: Modificato l'esponente sbagliato di una potenza.
"Rebb10":
$n^a e^((1/(2n+1))logn) = n^a 1 $
Perché l'esponente è diventato $1$?
Inoltre $\sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha}$ converge per $\alpha<-1$; quindi attenzione ai confronti con la serie armonica generalizzata.
Sui pari potresti notare che $n^{\alpha} \root{2n+1}n=n^{\alpha +\frac{1}{2n+1}}$.
Edit: Modificato l'esponente sbagliato di una potenza.
Non è che "per $n$ dispari la serie diventa... e per $n$ pari la serie diventa..."; la serie e sempre quella lì.
Casomai sono gli addendi che si possono esprimere in maniera diversa se $n$ è pari/dispari. In particolare, come hai notato, visto che $sin((2n+1)/2 pi) = (-1)^n$, gli addendi $x_n$ si scrivono come:
\[
x_n = (-1)^n n^{a + \frac{1}{2n+1}}
\]
da cui segue che la serie converge assolutamente per $ a<-1$ e non converge per $a>=0$.
Rimane dubbio il caso $-1<=a<0$, in cui, probabilmente dovrai applicare Leibniz.
P.S.: La relazione $a^b = e^( b log a)$ vale solo se $a>0$.
Casomai sono gli addendi che si possono esprimere in maniera diversa se $n$ è pari/dispari. In particolare, come hai notato, visto che $sin((2n+1)/2 pi) = (-1)^n$, gli addendi $x_n$ si scrivono come:
\[
x_n = (-1)^n n^{a + \frac{1}{2n+1}}
\]
da cui segue che la serie converge assolutamente per $ a<-1$ e non converge per $a>=0$.
Rimane dubbio il caso $-1<=a<0$, in cui, probabilmente dovrai applicare Leibniz.
P.S.: La relazione $a^b = e^( b log a)$ vale solo se $a>0$.
@Mephlip preciso che il numero $\sqrt(-n)$ potrebbe aver senso nel campo dei numeri complessi, come dici non l'ha invece in quelli reali. Se non erro a volte accade che con procedimenti algebrici si possono ritrovare i reali a partire dai complessi, correggetemi se sbaglio.
Credo tuttavia che qua non sia possibile e temo che non serva prendere in considerazione i numeri complessi, correggetemi se sbaglio.
Saluti.
Credo tuttavia che qua non sia possibile e temo che non serva prendere in considerazione i numeri complessi, correggetemi se sbaglio.
Saluti.
@curie88 certo, nei complessi sì; tuttavia credo che non venga considerato perché le successioni sono definite da $NN$ in $RR$ e quindi anche le serie hanno valori in $RR$ (almeno in questo contesto tipico di analisi 1).
Potrei sbagliarmi comunque, quindi prendilo come il parere di un non esperto!
Potrei sbagliarmi comunque, quindi prendilo come il parere di un non esperto!
@ Mephlip & curie88: Discorso molto bello, ma del tutto inutile.
Non c'è alcuna traccia di radici quadrate nell'esercizio proposto dallo OP.
Non c'è alcuna traccia di radici quadrate nell'esercizio proposto dallo OP.
Vero, infatti avevo sbagliato gli esponenti filtrando l'indice $2n+1$ come se il mio scopo fosse pulire un acquario (avevo modificato il messaggio).
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