Convergenza della serie

[mate15]

salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:
$\sum_{n=1 }^{\infty}\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )$
grazie...

[Noisemaker]

Intanto accertati che si tratti di una serie a termini positivi; poi prova ad applicare il confronto asintotico.

[mate15]

la serie è a termini positivi
mi potete aiutare con i passaggi
sto andando in confusione
grazie

[gugo82]

Beh, se segui il consiglio di Noisemaker la soluzione la dovresti trovare facilmente.
Prova.

[mate15]

e quale sarebbe .
se mi potete aiutare
grazie

[gugo82]

Beh...

"Noisemaker":prova ad applicare il confronto asintotico.

[mate15]

in che modo lo applico
se mi potete aiutare
grazie

[Noisemaker]

considera inizialmente la frazione, e determina qual è l'infinito dominante a numeratore e a denominatore.

[gugo82]

"insule15":in che modo lo applico

Come lo applichi di solito, se lo conosci.
Altrimenti, vallo a rivedere sul libro di teoria.

"insule15":se mi potete aiutare

Ti stiamo aiutando.
Ma aiutare non significa risolvere esercizi (cfr. regolamento, 1.2-1.5), soprattutto quando sono esercizi elementari.

[mate15]

ho provato a svolgerla in questo modo, correggetemi se ho sbagliato:
$\lim_{n \to \infty }\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )
$
$\lim_{n \to \infty }\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot\lim_{n \to \infty } sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )
$
$\lim_{n \to \infty }\frac{n^2(3+\frac{1}{n}+\frac{sin(n)}{n^2})}{n^3(4+\frac{2}{n^2}+\frac{cos(n)}{n^3})}\cdot sin(\lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{\sqrt{n}})) $
$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\frac{(3+\frac{1}{n}+\frac{sin(n)}{n^2})}{(4+\frac{2}{n^2}+\frac{cos(n)}{n^3})}\cdot sin(\lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{\sqrt{n}} )) $
$=0\cdot \frac{3}{4}\cdot 0=0$
quindi la serie converge..
è giusto??
grazie

[Noisemaker]

no... la serie potrebbe convergere, visto che il termine generale va a zero; bisogna capire con quale velocità va a zero per stabilirne la convergenza.

[mate15]

e cosa devo fare
cosa devo considerare
mi potete aiutare
grazie

[Noisemaker]

Allora, consideriamo la serie
\begin{align}
\sum_{n=1 }^{\infty}\frac{3n^2+n+\sin n}{4n^3+2n+\cos n}\cdot \sin \frac{1}{\sqrt{n}};
\end{align}
è facile convincersi che si tratta di una serie a termini positivi: infatti

[*:14i6o5kf] per il numeratore: $$0<3n^2+n-1\le\sin n+n^2+n\le1+n+3n^2;$$[/*:m:14i6o5kf]
[*:14i6o5kf] per il denominatore:$$0 [*:14i6o5kf] per quanto riguarda il fattore $\sin \frac{1}{\sqrt{n}},$ si può osservare che la successione $a_n:= \frac{1}{\sqrt{n}}$ risulta limitata, precisamente $00, x\in(0;1],$ possiamo concludere che si tratta di una serie il cui termine generale è a termini positivi.[/*:m:14i6o5kf][/list:u:14i6o5kf]
Per studiare il cararttere della serie, vista la particolare espressione del suo termine generale, conviene applicare il criterio del confronto asintotico, visto che siamo nelle ipotesi in cui può essere applicato (cioè serie a termini positivi).
Consideriamo inizialmente il primo fattore del termine generale, e cerchiamo di stabilire quale sia l'infinito dominate a numeratore e adenominatore: quando $n\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\frac{3n^2+n+\sin n}{4n^3+2n+\cos n} \sim \frac{3n^2 }{4n^3} =\frac{3 }{4n };
\end{align}
consideriamo ora il secondo fattore: evidentemente quando $n\to+\infty$ si ha che
\begin{align}
\sin \frac{1}{\sqrt{n}}\sim \frac{1}{\sqrt{n}}.
\end{align}
Il termine generale della serie si comporta quindi asintoticamente come:
\begin{align}
\frac{3n^2+n+\sin n}{4n^3+2n+\cos n}\cdot \sin \frac{1}{\sqrt{n}}\sim\frac{3 }{4n }\cdot\frac{1}{n^{1/2}}=\frac{3}{4n^{3/2}};
\end{align}
a questo punto possiamo concludere, in quanto la serie
\begin{align}
\sum_{n=1 }^{\infty}\frac{3}{4n^{3/2}}=\frac{3}{4} \sum_{n=1 }^{\infty}\frac{1}{ n^{3/2}},
\end{align}
è una serie armonica con esponente $>1$ e quindi convergente; si può concludere quindi che la serie data risulta convergente per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di termine generale $\frac{1}{ n^{3/2}}.$