Convergenza del massimo
Sia $(f_n)$ successione di funzioni continue su [0,1] e sia $f$ funzione continua su [0,1].
Se $f_n(x)->f(x) \forall x\in A$ , posso affermare che $max(f_n)->max(f)$ (i massimi esistono per Weirstrass)?
In caso contrario di quali ipotesi aggiuntive ho bisogno?
Se $f_n(x)->f(x) \forall x\in A$ , posso affermare che $max(f_n)->max(f)$ (i massimi esistono per Weirstrass)?
In caso contrario di quali ipotesi aggiuntive ho bisogno?
Risposte
Se l'intervallo non fosse compatto sarebbe banalmente falso: prendi $x^n,\ x \in [0, 1)$. Ma ora che ci penso mi sa che è falso pure con l'intervallo compatto, come dimostra questo esempio preso a prestito da Lang Undergraduate analysis, VII, §3:
Già, grazie del controesempio! Ma non esiste un criterio sufficiente per determinare se una successione di funzioni converge uniformemente su un compatto, senza dove calcolare $max|f_n-f|$? Perché ho a che fare con funzioni trascendenti e non riesco a esprimermi la differenza.
Eh purtroppo no. La norma uniforme è in generale molto difficile da calcolare e anche da approssimare, perché richiede di risolvere per ogni $n$ un problema di massimo. Attenzione però che mi pare tu stia confondendo $"max"\ f$ e $"max"\ |f|$. Sono due cose molto diverse; solo la seconda è una norma.
P.S.: Ah no ora che ci penso qualche criterio c'è. Ad esempio qui abbiamo parlato di un teorema dovuto a Dini riguardante proprio questo argomento.
P.S.: Ah no ora che ci penso qualche criterio c'è. Ad esempio qui abbiamo parlato di un teorema dovuto a Dini riguardante proprio questo argomento.
Un riferimento in rete, per approfondire la questione:
http://cvgmt.sns.it/papers/bra02a/Gcb@28short@29.pdf
pagg. 15-26
http://cvgmt.sns.it/papers/bra02a/Gcb@28short@29.pdf
pagg. 15-26
Temo che il criterio di Dini non si applichi al mio caso:
$f_n(x)=(-n/(n-1) (x^2+1)+log cosh(n/(n-1) (x+1)))$ con $x\in [-1,1]$
Ho bisogno di dire che $max f_n->max f$, dove ovviamente
$f(x)=(-(x^2+1)+log cosh(x+1))$
Forse c'è una strada più semplice che non riesco a vedere?
$f_n(x)=(-n/(n-1) (x^2+1)+log cosh(n/(n-1) (x+1)))$ con $x\in [-1,1]$
Ho bisogno di dire che $max f_n->max f$, dove ovviamente
$f(x)=(-(x^2+1)+log cosh(x+1))$
Forse c'è una strada più semplice che non riesco a vedere?
Oddio, che obbrobrio.
Viene fuori da un modello fisico (di Curie-Weiss), purtroppo non posso scegliermela io più bella!
Grazie, Fioravante, per il link. Infatti mi sto rendendo conto che la domanda posta da qwertyuio sembra molto più banale di quanto non lo sia in realtà e inoltre apre la strada ad altre domande ancora. Intanto ho provato a fabbricare una piccola proposizione:
Proposizione: Siano [tex]K[/tex] uno spazio metrico compatto (ad esempio un intervallo chiuso e limitato), [tex]f_n\colon K \to \mathbb{R}[/tex] una successione di funzioni continue uniformemente convergente ad una funzione [tex]f \colon K \to \mathbb{R}[/tex]. Allora, detti [tex]\displaystyle m_n=\max_{x \in K} f_n(x),\,m=\max_{x \in K}f(x)[/tex], risulta che [tex]m_n \to m[/tex].
dim.:
Faccio uso di un lemmino topologico. Siano [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] una successione e [tex]x[/tex] un punto di uno spazio topologico [tex]X[/tex]. Se ogni estratta di [tex](x_n)[/tex] ha a sua volta una estratta convergente ad [tex]x[/tex], allora [tex]x_n \to x[/tex]. Ometto la dimostrazione (che è facile, se serve ne riparliamo).
Ora osserviamo che la successione [tex]m_n[/tex] e il numero reale [tex]m[/tex] verificano le ipotesi del lemmino. Infatti, sia [tex]m_{n_h}[/tex] una estratta, che chiamo [tex]m_h[/tex] con abuso di notazione. Essendo questa una successione di massimi, possiamo trovare punti [tex]x_h\in K[/tex] tali che [tex]f(x_h)=m_h[/tex]. La successione [tex]x_h[/tex] ammette una estratta convergente: sia essa [tex]x_{h_k}\to \bar{x}[/tex]. Ora un ulteriore lemmino, stavolta di analisi, ci garantisce che
[tex]f_{h_k}(x_{h_k}) \to f(\bar{x})[/tex] (e anche qui ometto la dimostrazione).
Ma questo aleatorio [tex]f(\bar{x})[/tex] è in realtà proprio il massimo della [tex]f[/tex]. Infatti, essendo un valore assunto dalla funzione, è ovvio che
[tex]f(\bar{x})\le m[/tex];
d'altro canto per ogni [tex]x\inK[/tex] si ha [tex]f_{h_k}(x)\le f_{h_k}(x_{h_k})[/tex]. Passando al limite per [tex]k \to \infty[/tex] l'ultima disuguaglianza si prolunga alla
[tex]\forall x\in K,\ f(x)\le f(\bar{x})[/tex];
e quindi anche [tex]m[/tex], il massimo della [tex]f[/tex], è più piccolo di [tex]f(\bar{x})[/tex]. In formule
[tex]f(\bar{x})\le m\le f(\bar{x})[/tex], ovvero [tex]f(\bar{x})=m[/tex].
Tornando alla successione [tex]m_h[/tex], ne abbiamo trovato una estratta convergente a [tex]m[/tex]. E in conclusione, ogni estratta di [tex]m_n[/tex] ha a sua volta una estratta convergente ad [tex]m[/tex], per cui [tex]m_n\to m[/tex]. /////
Ho cercato ma proprio non sono riuscito a trovare una dimostrazione più semplice di questa. Ho usato la compattezza di [tex]K[/tex] nell'estrarre la successione [tex]x_{h_k}[/tex]; la continuità delle [tex]f_n[/tex] e la convergenza uniforme nel lemmino di analisi. Se cade qualche ipotesi il teorema potrebbe comunque non fallire, ma qui si aprirebbe tutto un dibattito (le "altre domande ancora" di cui parlavo sopra).
[size=75][edit]corretto un errore nel TeX.[/edit][/size]
Proposizione: Siano [tex]K[/tex] uno spazio metrico compatto (ad esempio un intervallo chiuso e limitato), [tex]f_n\colon K \to \mathbb{R}[/tex] una successione di funzioni continue uniformemente convergente ad una funzione [tex]f \colon K \to \mathbb{R}[/tex]. Allora, detti [tex]\displaystyle m_n=\max_{x \in K} f_n(x),\,m=\max_{x \in K}f(x)[/tex], risulta che [tex]m_n \to m[/tex].
dim.:
Faccio uso di un lemmino topologico. Siano [tex](x_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] una successione e [tex]x[/tex] un punto di uno spazio topologico [tex]X[/tex]. Se ogni estratta di [tex](x_n)[/tex] ha a sua volta una estratta convergente ad [tex]x[/tex], allora [tex]x_n \to x[/tex]. Ometto la dimostrazione (che è facile, se serve ne riparliamo).
Ora osserviamo che la successione [tex]m_n[/tex] e il numero reale [tex]m[/tex] verificano le ipotesi del lemmino. Infatti, sia [tex]m_{n_h}[/tex] una estratta, che chiamo [tex]m_h[/tex] con abuso di notazione. Essendo questa una successione di massimi, possiamo trovare punti [tex]x_h\in K[/tex] tali che [tex]f(x_h)=m_h[/tex]. La successione [tex]x_h[/tex] ammette una estratta convergente: sia essa [tex]x_{h_k}\to \bar{x}[/tex]. Ora un ulteriore lemmino, stavolta di analisi, ci garantisce che
[tex]f_{h_k}(x_{h_k}) \to f(\bar{x})[/tex] (e anche qui ometto la dimostrazione).
Ma questo aleatorio [tex]f(\bar{x})[/tex] è in realtà proprio il massimo della [tex]f[/tex]. Infatti, essendo un valore assunto dalla funzione, è ovvio che
[tex]f(\bar{x})\le m[/tex];
d'altro canto per ogni [tex]x\inK[/tex] si ha [tex]f_{h_k}(x)\le f_{h_k}(x_{h_k})[/tex]. Passando al limite per [tex]k \to \infty[/tex] l'ultima disuguaglianza si prolunga alla
[tex]\forall x\in K,\ f(x)\le f(\bar{x})[/tex];
e quindi anche [tex]m[/tex], il massimo della [tex]f[/tex], è più piccolo di [tex]f(\bar{x})[/tex]. In formule
[tex]f(\bar{x})\le m\le f(\bar{x})[/tex], ovvero [tex]f(\bar{x})=m[/tex].
Tornando alla successione [tex]m_h[/tex], ne abbiamo trovato una estratta convergente a [tex]m[/tex]. E in conclusione, ogni estratta di [tex]m_n[/tex] ha a sua volta una estratta convergente ad [tex]m[/tex], per cui [tex]m_n\to m[/tex]. /////
Ho cercato ma proprio non sono riuscito a trovare una dimostrazione più semplice di questa. Ho usato la compattezza di [tex]K[/tex] nell'estrarre la successione [tex]x_{h_k}[/tex]; la continuità delle [tex]f_n[/tex] e la convergenza uniforme nel lemmino di analisi. Se cade qualche ipotesi il teorema potrebbe comunque non fallire, ma qui si aprirebbe tutto un dibattito (le "altre domande ancora" di cui parlavo sopra).
[size=75][edit]corretto un errore nel TeX.[/edit][/size]
Passiamo ad applicare questa roba alla successione di qwertyuio,
[tex]\displaystyle f_n(x)=\left[-\frac{n}{n-1}(x^2+1)+\log\,\cosh \left(\frac{n}{n-1}(x+1) \right)\right][/tex].
Si tratta di mostrare senza troppi conti che essa converge uniformemente, cosa che ci aspettiamo essere vera grazie al suggerimento di Maple (sono i primi 28 termini della successione):
Chiamiamo [tex]u_n=\dfrac{n}{n-1}[/tex]. E' molto semplice mostrare che [tex]-u_n(x^2+1)[/tex] converge uniformemente. Consideriamo poi
[tex]\displaystyle \Big\lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert[/tex];
quando [tex]x \in [-1, 1][/tex], [tex]\cosh(x)\in [1, \cosh(1)][/tex]; in quest'ultimo intervallo la funzione [tex]\log[/tex] è Lipschitziana con una certa costante di Lipschitz [tex]L_1[/tex] (si vede subito osservando che ha la derivata limitata). Stesso ragionamento per [tex]\cosh[/tex] che ha una certa costante di Lipschitz [tex]L_2[/tex]: applicando in successione le due condizioni di Lipschitz otteniamo la disuguaglianza
[tex]\displaystyle\Big \lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert \le L_1L_2\lvert u_n-1 \rvert \lvert x+1 \rvert[/tex];
da cui segue immediatamente che
[tex]\displaystyle \Big\lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert \to 0[/tex] uniformemente per ogni [tex]x \in [-1, 1][/tex].
Ricapitolando, abbiamo riscritto la successione di partenza [tex]f_n[/tex] come somma di due termini uniformemente convergenti. E allora anche [tex]f_n[/tex] è uniformemente convergente. SE&O
[size=75][edit]Cosmesi TeX. Finalmente ho capito come forzare la lunghezza delle stanghette verticali, grazie al manuale di Lorenzo Pantieri.[/edit][/size]
[tex]\displaystyle f_n(x)=\left[-\frac{n}{n-1}(x^2+1)+\log\,\cosh \left(\frac{n}{n-1}(x+1) \right)\right][/tex].
Si tratta di mostrare senza troppi conti che essa converge uniformemente, cosa che ci aspettiamo essere vera grazie al suggerimento di Maple (sono i primi 28 termini della successione):
Chiamiamo [tex]u_n=\dfrac{n}{n-1}[/tex]. E' molto semplice mostrare che [tex]-u_n(x^2+1)[/tex] converge uniformemente. Consideriamo poi
[tex]\displaystyle \Big\lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert[/tex];
quando [tex]x \in [-1, 1][/tex], [tex]\cosh(x)\in [1, \cosh(1)][/tex]; in quest'ultimo intervallo la funzione [tex]\log[/tex] è Lipschitziana con una certa costante di Lipschitz [tex]L_1[/tex] (si vede subito osservando che ha la derivata limitata). Stesso ragionamento per [tex]\cosh[/tex] che ha una certa costante di Lipschitz [tex]L_2[/tex]: applicando in successione le due condizioni di Lipschitz otteniamo la disuguaglianza
[tex]\displaystyle\Big \lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert \le L_1L_2\lvert u_n-1 \rvert \lvert x+1 \rvert[/tex];
da cui segue immediatamente che
[tex]\displaystyle \Big\lvert \log \left[ \cosh\left( u_n (x+1) \right) \right] - \log \left[ \cosh\left( (x+1) \right) \right]\Big\rvert \to 0[/tex] uniformemente per ogni [tex]x \in [-1, 1][/tex].
Ricapitolando, abbiamo riscritto la successione di partenza [tex]f_n[/tex] come somma di due termini uniformemente convergenti. E allora anche [tex]f_n[/tex] è uniformemente convergente. SE&O
[size=75][edit]Cosmesi TeX. Finalmente ho capito come forzare la lunghezza delle stanghette verticali, grazie al manuale di Lorenzo Pantieri.[/edit][/size]
Non ho controllato i dettagli, ma 
Grazie mille dissonance! Mi hai dato davvero un ottimo aiuto
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