Convergenza (debole) nel senso delle misure

[james bond1]

Buongiorno a tutti,
ho un dubbio a cui non riesco dare risposta.
Quando si parla di "convergenza (debole) nel senso delle misure" si intende che

1) data $\{\nu_j\}$ successione di funzioni/misure questa converge (debolmente) a $\nu$ se è verificato
\begin{equation*}
\int\varphi (x) d\nu_j(x)\to\int\varphi(x) d\nu(x)
\end{equation*}
per ogni $\varphi$ a supporto compatto;

oppure

2) data $\{\nu_j}$ successione di funzioni/misure questa converge (debolmente) a $\nu$ se è verificato
\begin{equation*}
\int\varphi(x)\nu_j(x) dx\to\int\varphi(x)\nu(x) dx
\end{equation*}
per ogni $\varphi$ a supporto compatto.

Oppure sono definizioni equivalenti?
Grazie mille!

[ciampax]

Non vorrei dire una cavolata, ma credo che la prima sia una definizione generale, mentre la seconda valga quando puoi esprimere una misura in forma di Radon. Ma sono parecchio ammuffito su questa roba, quindi prendi sta cosa con le pinze.

[james bond1]

So di per certo che la (1) vale per le funzioni di Radon. Infatti il mio dubbio nasceva proprio cercando di generalizzare quella definizione.

[dissonance]

Io invece direi che la seconda è caso particolare della prima, valida solo per misure assolutamente continue di cui \( \nu_j, \nu\) sono le funzioni di densità. La prima è la "vera" definizione. Per esempio, la successione \(\delta_{1/n}\) di delta di Dirac concentrate in \(1/n\) converge debolmente a \(\delta_0\) e non rientra nel caso 2).

[ciampax]

Ecco, vedi, come dice dissonance, le cose funzionano così. Anche a me sembrava strano che la prima fosse valida per misure di Radon.

[james bond1]

Ok, grazie mille per la chiarificazione.
Ad ogni modo, ciampax, continuo a credere (senza offesa eh!) che anche per le misure di Radon valga la (1).