Convergenza debole in spazi di banach riflessivi
Sia $(X,||.||)$ uno spazio riflessivo di Banach, $(x_n)$ una successione in $X$ e $(f_n)$ una successione in $X^{\prime}$. Mostrare le seguenti:
(i) Se $x_n -> x$ (converge debolmente, ho provato ad immettere la freccetta con solo mezza punta con la simbologia di latex ma non la riconosce :S ) in $X$ e $f_n ->f$ in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n)->f(x)$
(ii) Se $x_n -> x$ in $X$ e $f_n -> f$ (converge debolmente) in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n) ->f(x)$ ($f_n -> f$ debolmente significa che $f_n(x)->f(x)$ debolmente $AAx \in X$)
(iii) Se $x_n -> x$ (converge debolmente) e $f_n -> f$ (converge debolmente) allora non è vero che $f_n(x_n) ->f(x)$.
(i) Se $x_n -> x$ (converge debolmente, ho provato ad immettere la freccetta con solo mezza punta con la simbologia di latex ma non la riconosce :S ) in $X$ e $f_n ->f$ in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n)->f(x)$
(ii) Se $x_n -> x$ in $X$ e $f_n -> f$ (converge debolmente) in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n) ->f(x)$ ($f_n -> f$ debolmente significa che $f_n(x)->f(x)$ debolmente $AAx \in X$)
(iii) Se $x_n -> x$ (converge debolmente) e $f_n -> f$ (converge debolmente) allora non è vero che $f_n(x_n) ->f(x)$.
Risposte
quale esercizio???? 
Scusa, ho starnutito e mi si è inviato il post!! 
Ho risolto così la prima richiesta:
$|f_n(x_n)-f(x)|<=|f_n (x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|<=||f_n-f||*||x_n||+|f(x_n)-f(x)|<=\epsilon ||x_n||+\epsilon <= \epsilon'$
Usando queste proprietà:
$x_n -> x$ (debolmente) allora $EE M >0: ||x_n||<= M$
$x_n -> x$ (debolmente) allora $||x'(x_n)-x'(x)||<= \epsilon, AA x' \in X'$ (definizione di convergenza debole)
$f_n -> f$ allora $||f_n-f||<= \epsilon$.
Il fatto che non usi che $X$ è riflessivo mi fa però pensare che non vada bene..
Idee per gli altri due?
$|f_n(x_n)-f(x)|<=|f_n (x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|<=||f_n-f||*||x_n||+|f(x_n)-f(x)|<=\epsilon ||x_n||+\epsilon <= \epsilon'$
Usando queste proprietà:
$x_n -> x$ (debolmente) allora $EE M >0: ||x_n||<= M$
$x_n -> x$ (debolmente) allora $||x'(x_n)-x'(x)||<= \epsilon, AA x' \in X'$ (definizione di convergenza debole)
$f_n -> f$ allora $||f_n-f||<= \epsilon$.
Il fatto che non usi che $X$ è riflessivo mi fa però pensare che non vada bene..
Idee per gli altri due?
"blunotte":
Sia $(X,||.||)$ uno spazio riflessivo di Banach, $(x_n)$ una successione in $X$ e $(f_n)$ una successione in $X^{\prime}$. Mostrare le seguenti:
(i) Se $x_n -> x$ (converge debolmente, ho provato ad immettere la freccetta con solo mezza punta con la simbologia di latex ma non la riconosce :S ) in $X$ e $f_n ->f$ in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n)->f(x)$
(ii) Se $x_n -> x$ in $X$ e $f_n -> f$ (converge debolmente) in $X^{\prime}$ allora $f_n(x_n) ->f(x)$ ($f_n -> f$ debolmente significa che $f_n(x)->f(x)$ debolmente $AAx \in X$)
(iii) Se $x_n -> x$ (converge debolmente) e $f_n -> f$ (converge debolmente) allora non è vero che $f_n(x_n) ->f(x)$.
Ti do le line essenziali (chiedi pure per maggiori dettagli)
(i) $|f_n(x_n)-f(x)|\leq|f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|\leq M||f_n-f||_{X'}+|f(x_n)-f(x)|$ (nota che se $(x_n)$ converge debolmente, allora $(x_n)$ è limitatata: $||x_n||\leq M$).
(ii) dovrebbe essere simile a (i)
(iii) Prendi uno spazio di Hilbert $H$ di dimensione infinita e una base ortonormale $(e_n)$ ; allora puoi prendere $x_n:=e_n$ e $f_n(x)=
e pure $f_n\to0$ debole star (ma qui star è inutile). Però $f_n(x_n) =
P.S. Andava bene il discorso sul funzionale positivo?
Il riflessivo penso si usi per il secondo: che, dato che $X$ è riflessivo, coincide col primo punto (basta prendere lo spazio $Y=X'$)... (comunque la convergenza per i funzionali che hai indicato è la debole * non la debole nel caso generale).
Per il terzo un controesempio potrebbe essere questo: in $L^2(0,2\pi)$ si prende la successione
$ v_n(x)=sin(nx) $
che converge debolmente a zero. Dopodiché la successione degli operatori lineari $L_n$ tali che:
$ L_n v_n = || v_n ||^2 $
che ovviamente non sono altro che:
$ < L_n, v_n > = (v_n, v_n) $
ovviamente gli $L_n$ che non sono altro che i $v_n$ convergono debolmente a zero, ma:
$ < L_n , v_n > = \sqrt{\pi} \qquad \forall n $
*** EDIT ***
Sono stato anticipato!
Per il terzo un controesempio potrebbe essere questo: in $L^2(0,2\pi)$ si prende la successione
$ v_n(x)=sin(nx) $
che converge debolmente a zero. Dopodiché la successione degli operatori lineari $L_n$ tali che:
$ L_n v_n = || v_n ||^2 $
che ovviamente non sono altro che:
$ < L_n, v_n > = (v_n, v_n) $
ovviamente gli $L_n$ che non sono altro che i $v_n$ convergono debolmente a zero, ma:
$ < L_n , v_n > = \sqrt{\pi} \qquad \forall n $
*** EDIT ***
Sono stato anticipato!
Grazie per la celerità! Sì la convergenza dei funzionali è la debole * ma avevo un po' di problemi a scrivere (ancora non ho capito come scrivere le frecce della convergenza debole) infatti ho specificato per far capire cosa intendevo :)
Ora provo a formalizzare il secondo punto, che avevo iniziato nello stesso modo del primo effettivamente!
p.s. per ViciousGoblinEnters: sto raccogliendo una serie di esercizi da far controllare dall'assistente, appena vado poi ti faccio sapere, grazie! :)
Ora provo a formalizzare il secondo punto, che avevo iniziato nello stesso modo del primo effettivamente!
p.s. per ViciousGoblinEnters: sto raccogliendo una serie di esercizi da far controllare dall'assistente, appena vado poi ti faccio sapere, grazie! :)
Il secondo punto è già dimostrato: basta che consideri lo spazio $Y=X'$ dove gli $f_n$ sono gli elementi (che convergono debolmente) e gli $x_n$ sono i funzionali lineari (modulo l'identificazione attraverso la mappa canonica). A questo punto il secondo punto è il primo punto...
Secondo me la riflessività non serve. Quello che serve è
(a) $(x_n)$ debolmente convergente in $X$ implica $(x_n)$ limitata in $X$
(b) $f_n)$ debole star convergente in $X'$ implica $(f_n)$ limitata in $X'$
che mi paiono vere. Oltretutto se si suppone la riflessività (i) e (ii) sono praticamente le stessa cosa, come ha notato david_e.
Allora per dimostrare (ii):
$ |f_n(x_n)-f(x)|\leq|f_n(x_n)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|\leq M||x_n-x||_{X}+|f_n(x)-f(x)|\to0$
(a) $(x_n)$ debolmente convergente in $X$ implica $(x_n)$ limitata in $X$
(b) $f_n)$ debole star convergente in $X'$ implica $(f_n)$ limitata in $X'$
che mi paiono vere. Oltretutto se si suppone la riflessività (i) e (ii) sono praticamente le stessa cosa, come ha notato david_e.
Allora per dimostrare (ii):
$ |f_n(x_n)-f(x)|\leq|f_n(x_n)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|\leq M||x_n-x||_{X}+|f_n(x)-f(x)|\to0$
Si anche per me.
PS: @ViciousGoblinEnters: l'avevo anche io quel gioco!
PS: @ViciousGoblinEnters: l'avevo anche io quel gioco!
"david_e":
PS: @ViciousGoblinEnters: l'avevo anche io quel gioco!
Eeps mi hai beccato ... o forse sei tu che hai abboccato al mio amo dimostrando di non essere un ragazzino(??).
Ne è passato di tempo da quando sono andato a est attraverso quella porta verde ...
Scusa blunotte non puoi capire.
"ViciousGoblinEnters":
Eeps mi hai beccato ... o forse sei tu che hai abboccato al mio amo dimostrando di non essere un ragazzino(??).
lol no comunque io ero piccolo quando avevo quel gioco... infatti non sono mai riuscito a combinare un gran che senza farmi uccidere...
Comunque dovrei avere da qualche parte l'emulatore CPC e il gioco in questione... un giorno quasi quasi mi ci metto e lo ricomincio.
"david_e":
[quote="ViciousGoblinEnters"]
Eeps mi hai beccato ... o forse sei tu che hai abboccato al mio amo dimostrando di non essere un ragazzino(??).
lol no comunque io ero piccolo quando avevo quel gioco... infatti non sono mai riuscito a combinare un gran che senza farmi uccidere...
Comunque dovrei avere da qualche parte l'emulatore CPC e il gioco in questione... un giorno quasi quasi mi ci metto e lo ricomincio.[/quote]
Lascia perdere - dopo tutto questo tempo e' ancora possibile apprezzare qualche giochino d'azione-puzzle (le meccaniche
di quei giochi hanno ancora una certa originalita')
Rigiocare un avventura -PURAMENTE TESTUALE-e' inconcepibile. Io ho qualche anno di piu' (mio figlio sta facendo la maturità...), a quel tempo ho passato delle notti a tentare tutti i verbi del dizionario per entrare in una barca (alla fine c'era da fare "CLIMB INTO BOAT").
Va beh - torniamo a parlare di matematica.
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