Convergenza debole implica la forte in questo caso
Prendiamo ${f_j}\subL^p(RR^n)$
e sia $f\inX$ tale che $f_n->f$ debolmente (come si fa la mezza freccia?)
Equivale a dire $\forall g\inX^"*"\ \ \ g(f_j)->g(f)$ nella norma di $RR$
Ora, il mio libro dice che questo implica $\chi_Af_n->\chi_Af$ forte
Io avevo pensato che si poteva usare il fatto che i funzionali di $L^p(RR^n)^"*"$ sono della forma $\int_{RR^n}\phi*(*) d\mu$ con $\phi\inL^q(RR^n)$ e $[1]/
e sia $f\inX$ tale che $f_n->f$ debolmente (come si fa la mezza freccia?)
Equivale a dire $\forall g\inX^"*"\ \ \ g(f_j)->g(f)$ nella norma di $RR$
Ora, il mio libro dice che questo implica $\chi_Af_n->\chi_Af$ forte
Io avevo pensato che si poteva usare il fatto che i funzionali di $L^p(RR^n)^"*"$ sono della forma $\int_{RR^n}\phi*(*) d\mu$ con $\phi\inL^q(RR^n)$ e $[1]/
+[1]/[q]=1$
E scrivere allora la condizione dell'ipotesi come $lim_{j->\infty} \int_{A}\phi*f_j d\mu=\int_{A}\phi*f d\mu$ ma non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte...
Risposte
(La mezza freccia non si può fare in ASCIIMathML ma solo in TeX con \rightharpoonup: [tex]\rightharpoonup[/tex] ).
Non si capisce bene la domanda. [tex]\chi_A[/tex] chi è?
Non si capisce bene la domanda. [tex]\chi_A[/tex] chi è?
Ah giusto, scusa
$\chi_A$ è la funzione caratteristica di un insieme $A\subRR^n$ che ha misura di lebesgue finita
$\chi_A$ è la funzione caratteristica di un insieme $A\subRR^n$ che ha misura di lebesgue finita
Ho scritto due cose di carattere generale, che riporto qui in spoiler perché sono un po' OT:
Detto questo mi viene il dubbio che la proposizione del libro sia falsa. Prendiamo ad esempio [tex]u_n(x)=\sin nx \chi_{[-2\pi, 2\pi]}[/tex], successione tale che [tex]u_n \stackrel{L^2(\mathbb{R})}{\rightharpoonup}0[/tex]. Se fosse vero quanto dice il libro, preso [tex]A=[-\pi, \pi][/tex] dovrebbe essere [tex]\lVert u_n \rVert_{2, [-\pi, \pi]} \to 0[/tex]. Questo è falso.
Detto questo mi viene il dubbio che la proposizione del libro sia falsa. Prendiamo ad esempio [tex]u_n(x)=\sin nx \chi_{[-2\pi, 2\pi]}[/tex], successione tale che [tex]u_n \stackrel{L^2(\mathbb{R})}{\rightharpoonup}0[/tex]. Se fosse vero quanto dice il libro, preso [tex]A=[-\pi, \pi][/tex] dovrebbe essere [tex]\lVert u_n \rVert_{2, [-\pi, \pi]} \to 0[/tex]. Questo è falso.
e invece esiste una sottosuccessione che converge fortemente?
Lui tira fuori un qualcosa che converge nella dimostrazione di un teorema, dicendo: "for weak convergence on small sets"
magari estrae una sottosuccessione e la chiama allo stesso modo...
Lui tira fuori un qualcosa che converge nella dimostrazione di un teorema, dicendo: "for weak convergence on small sets"
magari estrae una sottosuccessione e la chiama allo stesso modo...
Adesso ci penso. Intanto potresti dire qual è questo libro che stai leggendo?
Analysis di Elliott H. Lieb e Michael Loss, non è fatto male solo che è troppo lungo a fare le dimostrazioni perché non usa teoremi generali come Banach-Steinhaus e Hahn-Banach...
e le informazioni sono un pò sparse, andrebbe letto tutto.
Solo che dovrei raccontare al prof ilo capitolo finale che giustamente presuppone un pò tutto...
Magari c'è un modo più semplice per arrivare alla dimostrazione che mi serve apro un topic.
e le informazioni sono un pò sparse, andrebbe letto tutto.
Solo che dovrei raccontare al prof ilo capitolo finale che giustamente presuppone un pò tutto...
Magari c'è un modo più semplice per arrivare alla dimostrazione che mi serve apro un topic.
Sarebbe cosa gradita se indicassi almeno in quale capitolo si trova la proposizione incriminata.
Ho capito che è meglio leggere tutto il libro ma almeno un piccolo indizio...
Ho capito che è meglio leggere tutto il libro ma almeno un piccolo indizio...
Ah ok, non avevo capito che volevi guardarlo, grande.
volevo capire il teorema 11.4,
il quale se ne viene fuori con questa proposizione che rimanda indietro ad un teorema che non ho capito bene, la cui dimostrazione è assurdamente complicata, 3 pagine...
volevo capire il teorema 11.4,
il quale se ne viene fuori con questa proposizione che rimanda indietro ad un teorema che non ho capito bene, la cui dimostrazione è assurdamente complicata, 3 pagine...
Domani ci do un occhio pure io...
Fermo restante che quel libro non mi piace assai; cioè, ha tutte le qualità per essere un buon testo, epperò manca di chiarezza in alcuni passaggi fondamentali il più delle volte. Quando posso lo evito accuratamente (anche se il capitolo sui riordinamenti è carino).
Fermo restante che quel libro non mi piace assai; cioè, ha tutte le qualità per essere un buon testo, epperò manca di chiarezza in alcuni passaggi fondamentali il più delle volte. Quando posso lo evito accuratamente (anche se il capitolo sui riordinamenti è carino).
Oggi sono passato in facoltà,
il mio prof. mi ha detto che quel passaggio lì è una versione di Rellich-Kondrachov su insiemi limitati, che il libro di Lieb e Loss dimostra facendo milioni di calcoli perché va a fare i conti sugli $L^p(RR^n)$...
Oggi mi sono stancato troppo per mettermici adesso, domani vi farò sapere che ne ho tirato fuori.
il mio prof. mi ha detto che quel passaggio lì è una versione di Rellich-Kondrachov su insiemi limitati, che il libro di Lieb e Loss dimostra facendo milioni di calcoli perché va a fare i conti sugli $L^p(RR^n)$...
Oggi mi sono stancato troppo per mettermici adesso, domani vi farò sapere che ne ho tirato fuori.
[OT]
Fox, forse te l'ho già chiesto, ma l'ho dimenticato... Che studi? Matematica, Fisica, Ingegneria...
[/OT]
Fox, forse te l'ho già chiesto, ma l'ho dimenticato... Che studi? Matematica, Fisica, Ingegneria...
[/OT]
Studio Ingegneria Matematica, si nota molto eh? Magari da qualche sfondone che tiro ogni tanto.
Mi rendo conto che a volte arrivo a determinati argomenti senza avere le basi necessarie per affrontarli come si deve, ma purtroppo ci vorrebbe troppo tempo e ci sono troppi esami...
Non ho ancora avuto tempo di guardare il teorema, oggi ho solo ripassato cose vecchie per iniziare ad organizzare il tutto, spero domani di scrivere qualcosa.
Mi rendo conto che a volte arrivo a determinati argomenti senza avere le basi necessarie per affrontarli come si deve, ma purtroppo ci vorrebbe troppo tempo e ci sono troppi esami...
Non ho ancora avuto tempo di guardare il teorema, oggi ho solo ripassato cose vecchie per iniziare ad organizzare il tutto, spero domani di scrivere qualcosa.
No, è che quel libro di Analisi non è molto usato tra i matematici (a quanto mi risulta)... Per questo mi è venuta la curiosità. 
Poi, sapessi quanti ne tiro io di sfondoni!
Poi, sapessi quanti ne tiro io di sfondoni!
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