Convergenza debole e convergenza forte
Ciao ragazzi, durante lo svolgimento di un esercizio ho riscontrato il seguente problema:
Se ho $f_n$ successione di funzioni in $L^p$ convergente nel senso di $L^p$ ad $f$ ed ho $g_n$ successione di funzioni in $L^{p'}$ (esponente coniugato secondo Holder di p) convergente in senso debole ad una funzione $g$ in $L^{p'}$, posso concludere che
$\lim_{n\ to +\infty} int_{\Omega} f_n g_n = \int_{\Omega} fg$ ???
Se sì, mi sapreste dare un hint per dimostrarlo?
Essenzialmente il problema è la successione $\g_n$ perché, se invece di questa avessi una semplice funzione g in $L^{p'}$, potrei subito concludere l'asserto sfruttando la nozione di convergenza debole. Ciò vale in quanto se g é in $L^{p'}$, allora
$\lambda(f)=\int_{\Omega} fg$
è un funzionale lineare e continuo , e dunque per definizione di convergenza debole ho $\lim_{n \to +infty}\lambda(f_n)= \lambda(f)$.
Nel mio caso, ho una cosa del tipo $\lambda_n(f_n)$, e devo provare che tende a $\lambda(f)=\int_{\Omega} fg$ . E se provassi con il classico ''aggiungo e sottraggo qualcosa'', di modo da sfruttare convergenza debole e convergenza degli operatori?
Se ho $f_n$ successione di funzioni in $L^p$ convergente nel senso di $L^p$ ad $f$ ed ho $g_n$ successione di funzioni in $L^{p'}$ (esponente coniugato secondo Holder di p) convergente in senso debole ad una funzione $g$ in $L^{p'}$, posso concludere che
$\lim_{n\ to +\infty} int_{\Omega} f_n g_n = \int_{\Omega} fg$ ???
Se sì, mi sapreste dare un hint per dimostrarlo?
Essenzialmente il problema è la successione $\g_n$ perché, se invece di questa avessi una semplice funzione g in $L^{p'}$, potrei subito concludere l'asserto sfruttando la nozione di convergenza debole. Ciò vale in quanto se g é in $L^{p'}$, allora
$\lambda(f)=\int_{\Omega} fg$
è un funzionale lineare e continuo , e dunque per definizione di convergenza debole ho $\lim_{n \to +infty}\lambda(f_n)= \lambda(f)$.
Nel mio caso, ho una cosa del tipo $\lambda_n(f_n)$, e devo provare che tende a $\lambda(f)=\int_{\Omega} fg$ . E se provassi con il classico ''aggiungo e sottraggo qualcosa'', di modo da sfruttare convergenza debole e convergenza degli operatori?
Risposte
Quello che dici è tutto giusto; se \(x_n \rightharpoonup x \) weak (in uno spazio normato $X$) e $f_n \to f$ strong (in $X^\star$) allora \( \langle f_n, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle\).
E' giusta anche l'idea che hai avuto per la dimostrazione: il trucco è proprio quello di "aggiungere e sottrarre qualcosa". Ricorda, inoltre, che le successioni debolmente convergenti sono limitate.
E' giusta anche l'idea che hai avuto per la dimostrazione: il trucco è proprio quello di "aggiungere e sottrarre qualcosa". Ricorda, inoltre, che le successioni debolmente convergenti sono limitate.
Che bello! Grazie mille 
Vediamo se riesco a formalizzare come si deve:
Supponiamo che \( x_n \rightharpoonup x \) weak (in uno spazio normato $ X $) e $ f_n \to f $ strong (in $ X^\star $) , proviamo che \( \langle f_n, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle \).
Aggiungendo e sottraendo $f(x_n)$ e d usando la triangolare, ho:
$|f_n(x_n)-f(x)|\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x)|$
Dal fatto che $ f_n \to f $ strong (in $ X^\star $), segue che
$\forall \epsilon>0, \exists \nu : \forall n>\nu$ si ha $|f_n(x)-f(x)|\leq \epsilon |x| , \forall x\in X$.
Poiché \( x_n \rightharpoonup x \) in $ X $, so che la successione è limitata e dunque
$\exists M>0 : \forall n\in \mathbb{N}$, risulti $|x_n| \leq M $
Da ciò segue la maggiorazione per il primo addendo
$|f_n(x_n)-f(x_n)|\leq \epsilon|(x_n)|\leq \epsilon M$.
Per il secondo, sfrutto la convergenza debole dunque $\exists \eta : \forall n>\eta$ si ha $|f(x_n)-f(x)|\leq \epsilon$.
Da ciò l'asserto. E' giusto?
Vediamo se riesco a formalizzare come si deve:
Supponiamo che \( x_n \rightharpoonup x \) weak (in uno spazio normato $ X $) e $ f_n \to f $ strong (in $ X^\star $) , proviamo che \( \langle f_n, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle \).
Aggiungendo e sottraendo $f(x_n)$ e d usando la triangolare, ho:
$|f_n(x_n)-f(x)|\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x)|$
Dal fatto che $ f_n \to f $ strong (in $ X^\star $), segue che
$\forall \epsilon>0, \exists \nu : \forall n>\nu$ si ha $|f_n(x)-f(x)|\leq \epsilon |x| , \forall x\in X$.
Poiché \( x_n \rightharpoonup x \) in $ X $, so che la successione è limitata e dunque
$\exists M>0 : \forall n\in \mathbb{N}$, risulti $|x_n| \leq M $
Da ciò segue la maggiorazione per il primo addendo
$|f_n(x_n)-f(x_n)|\leq \epsilon|(x_n)|\leq \epsilon M$.
Per il secondo, sfrutto la convergenza debole dunque $\exists \eta : \forall n>\eta$ si ha $|f(x_n)-f(x)|\leq \epsilon$.
Da ciò l'asserto. E' giusto?
Sì, tutto corretto.
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