Convergenza assoluta ed uniforme.
Buona sera,
mi sono accorta di avere un dubbio studiando il teorema del cerchio di convergenza per serie di potenze, che in realtà va al di là di questo teorema.
Nella dimostrazione, assunta $\sum_(n=0)^(+oo) a_nx^n$, infatti, noto che nel caso in cui vi sia convergenza assoluta in un certo numero di intorni che possiamo definire del tipo $0
Per la convergenza uniforme, invece, se dimostro valere convergenza uniforme su ogni r con $0
E' come se l'unione infinita di intervalli [a,c[ con a
Ma il perché mi sfugge, infatti la dimostrazione usa maggiorazioni in modo simile e lavorasugli r, dunque credo sia una proprietà di queste unioni infinite che non comprendo bene, perché su una vale e l'altra no? Vorrei approfondire
mi sono accorta di avere un dubbio studiando il teorema del cerchio di convergenza per serie di potenze, che in realtà va al di là di questo teorema.
Nella dimostrazione, assunta $\sum_(n=0)^(+oo) a_nx^n$, infatti, noto che nel caso in cui vi sia convergenza assoluta in un certo numero di intorni che possiamo definire del tipo $0
Per la convergenza uniforme, invece, se dimostro valere convergenza uniforme su ogni r con $0
E' come se l'unione infinita di intervalli [a,c[ con a
Ma il perché mi sfugge, infatti la dimostrazione usa maggiorazioni in modo simile e lavorasugli r, dunque credo sia una proprietà di queste unioni infinite che non comprendo bene, perché su una vale e l'altra no? Vorrei approfondire
Risposte
Perché la convergenza assoluta è un concetto squisitamente puntuale, quindi la famiglia di sottoinsiemi dove c'è convergenza assoluta è chiusa per le unioni, mentre la convergenza uniforme è una cosa globale, quindi non c'è nessun motivo per cui la famiglia di sottoinsiemi dove c'è convergenza uniforme debba essere chiusa per unioni, però si può dimostrare che è chiusa per unioni FINITE. Prova a dimostrarlo che ti può essere utile.
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