Convergenza assoluta e criterio Leibnitz
Ciao a tutti
scrivo ancora per rettificare se ho svolto bene questo esercizio applicando allo stesso esercizio sia il criterio dell'assoluta convergenza sia il criterio di Leibnitz ( lo ho fatto per esercizio so che ne basta scegliere uno dei due )
$\sum_{n=1}^oo (-1)^(n+1)/(n^2-(-1)^n)$
ho applicato prima il criterio di assoluta convergenza e ottengo passando al modulo, se ho applicato bene, questo:
$\sum_{n=1}^oo 1/(n^2-1)$ da cui essendo questo $~= 1/n^2$ concludo che si comporta in modo simile e che quindi la serie dei moduli converge e che quindi la serie di partenza converge assolutamente e quindi anche semplicemente, il che dovrebbe bastare a concludere qui l'esercizio se non sbaglio.
Usando invece il criterio di Leibnitz ho fatto cosi:
verifico prima che il termine generale sia infinitesimo, quindi calcolo:
$\lim_{n \to \infty}1/(n^2-(-1)^n)$ considero che quel $(-1)^n$ del denominatore si puo trascurare perchè oscilla tra $-1$ e $+1$ e quindi si vede molto facilmente che questa tende a $0$ e quindi è verificata la prima proprietà.
verifico adesso la seconda, e cioè che sia non crescente e quindi calcolo:
$|(-1)^(n+1)/(n^2-(-1)^n)|>=|(-1)^(n+2)/((n+1)^2-(-1)^(n+1))|$ svolgendo alla fine ottengo questa disuguaglianza:
$1/(n^2-1)>=1/(n^2+2n)$ passo ai reciproci per comodita e ottengo $n^2-1<=n^2+2n$ per cui alla fine mi viene $n>=-1/2$ il che è sempre vero e quindi ho dimostrato che entrambe le condizioni di Leibnitz sono rispettate e quindi posso concludere che la serie converge per il criterio di Leibnitz.
spero di aver svolto bene
scrivo ancora per rettificare se ho svolto bene questo esercizio applicando allo stesso esercizio sia il criterio dell'assoluta convergenza sia il criterio di Leibnitz ( lo ho fatto per esercizio so che ne basta scegliere uno dei due )
$\sum_{n=1}^oo (-1)^(n+1)/(n^2-(-1)^n)$
ho applicato prima il criterio di assoluta convergenza e ottengo passando al modulo, se ho applicato bene, questo:
$\sum_{n=1}^oo 1/(n^2-1)$ da cui essendo questo $~= 1/n^2$ concludo che si comporta in modo simile e che quindi la serie dei moduli converge e che quindi la serie di partenza converge assolutamente e quindi anche semplicemente, il che dovrebbe bastare a concludere qui l'esercizio se non sbaglio.
Usando invece il criterio di Leibnitz ho fatto cosi:
verifico prima che il termine generale sia infinitesimo, quindi calcolo:
$\lim_{n \to \infty}1/(n^2-(-1)^n)$ considero che quel $(-1)^n$ del denominatore si puo trascurare perchè oscilla tra $-1$ e $+1$ e quindi si vede molto facilmente che questa tende a $0$ e quindi è verificata la prima proprietà.
verifico adesso la seconda, e cioè che sia non crescente e quindi calcolo:
$|(-1)^(n+1)/(n^2-(-1)^n)|>=|(-1)^(n+2)/((n+1)^2-(-1)^(n+1))|$ svolgendo alla fine ottengo questa disuguaglianza:
$1/(n^2-1)>=1/(n^2+2n)$ passo ai reciproci per comodita e ottengo $n^2-1<=n^2+2n$ per cui alla fine mi viene $n>=-1/2$ il che è sempre vero e quindi ho dimostrato che entrambe le condizioni di Leibnitz sono rispettate e quindi posso concludere che la serie converge per il criterio di Leibnitz.
spero di aver svolto bene
Risposte
La prima parte va benissimo. Anche la seconda direi che va bene, anche se non ho guardato con attenzione le disuguaglianze.
ok grazie mille seneca ne faro degli altri e se incontrero difficolta posto ancora altrimenti so almeno di applicare bene la regola
Ci sarebbe un errore, che però non ha influito sul risultato:
\[\lvert n^2-(-1)^n\rvert\]
non è affatto uguale a
\[ n^2-1.\]
Infatti (assumendo \(n \ge 1\)) è uguale a
\[n^2-(-1)^n.\]
Inoltre si scrive Leibniz, non Leibnitz: questo è un errore che facevo pure io. Pare che il "tz" finale sia proprio del francese, ma Leibniz era tedesco.
\[\lvert n^2-(-1)^n\rvert\]
non è affatto uguale a
\[ n^2-1.\]
Infatti (assumendo \(n \ge 1\)) è uguale a
\[n^2-(-1)^n.\]
Inoltre si scrive Leibniz, non Leibnitz: questo è un errore che facevo pure io. Pare che il "tz" finale sia proprio del francese, ma Leibniz era tedesco.
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